Modelado matemático en la construcción. Modelado matemático del trabajo de una estructura de edificio Modelos matemáticos en ejemplos de construcción

Se describen enfoques en la aplicación de las matemáticas a la solución de problemas prácticos de ingeniería. En las últimas décadas, estos enfoques han adquirido claros rasgos de tecnología, por regla general, centrados en el uso de ordenadores. Y este libro analiza las acciones paso a paso en el modelado matemático, desde plantear un problema práctico hasta interpretar matemáticamente los resultados de su solución. Se seleccionan las áreas tradicionales de ingeniería de aplicaciones matemáticas más demandadas en la práctica de la construcción: problemas de mecánica teórica y mecánica de sólidos deformables, problemas de conducción de calor, mecánica de fluidos y algunos problemas tecnológicos y económicos sencillos. El libro fue escrito para estudiantes de universidades técnicas como libro de texto para el curso "Modelado Matemático", así como para el estudio de otras disciplinas que delinean la aplicación de técnicas analíticas y computacionales. metodos matematicos en la resolución de problemas de ingeniería aplicada.

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El papel de los cálculos técnicos y económicos para el análisis y la previsión de las actividades, la planificación y la gestión de los sistemas de construcción es importante, y los temas clave entre ellos son los problemas de elección de la optimización de las soluciones. En este caso, la decisión es una elección de parámetros que caracterizan la organización de un evento en particular, y la elección depende casi por completo de la persona que toma la decisión.

Las decisiones pueden ser exitosas o no exitosas, razonables o irrazonables. La práctica, por regla general, se interesa por las soluciones óptimas, aquellas que son preferibles a otras por una u otra razón.

La elección de soluciones óptimas, especialmente en sistemas matemáticos probabilísticos complejos, que incluyen sistemas de construcción, es impensable sin el uso generalizado de métodos matemáticos para la resolución de problemas y la tecnología informática.

La construcción de cualquier objeto de construcción ocurre mediante la realización de una gran cantidad de trabajos diversos en una secuencia determinada.

Consideremos varios problemas característicos y obtengamos una formulación matemática (modelo matemático) para ellos.

Tarea 1 (tarea de transporte).

Hay 2 plantas de concreto en la ciudad. El primero produce 400 toneladas de hormigón por día, y el segundo - 560 toneladas El hormigón de estas plantas se envía a 4 sitios de construcción. El primer sitio de construcción recibe 220 toneladas de concreto por día, el segundo - 200 toneladas, el tercero - 180 toneladas, el cuarto - 360 toneladas Se conoce el costo de transportar una tonelada de concreto de cada planta a cada sitio de construcción. Se requiere organizar el transporte de concreto desde las fábricas hasta las obras de construcción de tal manera que el costo total de todo el transporte sea mínimo.

Pasemos de una formulación significativa del problema a una matemática. Si se denota por С ij - el costo de transportar una tonelada de concreto de i - th plantar en j-yu sitio de construcción (estos son valores conocidos), y a través de x ij- el número de toneladas de hormigón a transferir desde yo - el plantar en j-ésimo sitio de construcción (estos son los valores deseados), entonces el costo de todo el transporte se expresará mediante la función

Es necesario encontrar el mínimo de esta función, pero x ij no son independientes, están relacionados por las siguientes restricciones. De la primera planta se exportan 400 toneladas de concreto, por lo tanto,

De la segunda planta se exportan 560 toneladas, por lo tanto,

Se entregan 220 toneladas de concreto a la primera obra, por lo tanto,

Del mismo modo, puede escribir para el resto de los sitios de construcción:

Por lo tanto, x ij debe satisfacer el siguiente sistema de restricciones:

A estas restricciones hay que añadir x ij> 0 (dado que el hormigón no se devuelve de las obras a las fábricas).

El problema se plantea matemáticamente de la siguiente manera: encontrar el mínimo de la función (5.1) siempre que sus argumentos satisfagan el sistema de ecuaciones (5.2).

Tarea 2 (Problema sobre recursos).

La brigada tiene a su disposición los siguientes recursos: 300 kg de metal, 100 m 2 de vidrio, 160 horas-hombre (hombre-horas) de tiempo de trabajo. La brigada recibió instrucciones de producir dos tipos de productos: PERO y EN. Precio por ítem PERO - 10 rublos, para su fabricación son necesarios 4 kg de metal, 2 m 2 de vidrio y 2 horas-hombre de tiempo de trabajo. Precio por ítem EN - 12 rublos, para su fabricación se necesitan 5 kg de metal, 1 m 2 de vidrio y 3 horas-hombre de tiempo de trabajo. Se requiere planificar el volumen de producción de tal manera que su costo sea máximo.

Vamos a obtener un modelo matemático de este problema. Denotamos por x1 y x2 número de productos PERO y EN, que debe planificarse (estos son los valores deseados).

El costo total de los productos planificados para la producción se expresa mediante la función

Sobre el x1 productos PERO requerido 4x1 kg de metal 2x1 m 2 vidrio y 2x1 horas-hombre de tiempo de trabajo. Sobre el x2 productos EN requerido 5x2, kg de metal, x2 m 2 vidrio y 3x2

horas-hombre de tiempo de trabajo. Por lo tanto, dado que los recursos están dados, se deben cumplir las siguientes condiciones:

4x1 +5x2< 300

2x1 +x2< 100 (5.4)

2x1 +3x2<160

Así, es necesario encontrar el máximo de la función (5.3) siempre que sus argumentos satisfagan el sistema de desigualdades (5.4).

Tarea 3.

De una chapa de cierta forma, es necesario cortar una cierta cantidad de espacios en blanco de dos tipos PERO y EN para la producción de 90 uds. productos Para un producto, se requieren 2 espacios en blanco de tipo PERO y 10 espacios en blanco de tipo EN. Hay cuatro opciones para cortar una hoja enrollada. Número de espacios en blanco PERO y EN, cortado de una hoja para cada opción de corte, así como los desperdicios del corte, se indican en la tabla 9.

¿Cuántas hojas enrolladas se deben cortar usando cada opción para hacer 90 piezas? productos para que la reducción de residuos sea mínima?

Tabla 9 - Datos iniciales para la tarea 3.

Opción de corte	Espacios en blanco, uds.	Residuos de corte, unidades
PERO	EN

Permitir x1, x2, x3, x4- el número de hojas enrolladas, corte en consecuencia las opciones 1, 2, 3, 4.

Los residuos del corte serán

Para la producción de 90 uds. productos, 180 espacios en blanco del tipo PERO y 900 - tipo EN. Por lo tanto, los argumentos de la función (5.5) deben satisfacer el sistema de ecuaciones

4x1 + 3x2 +x3 = 180 (5.6)

Z x 2 + 9 x 3 + 12 x 4 \u003d 900

Por tanto, matemáticamente, el problema se formula de la siguiente manera: encontrar el mínimo de la función (5.5) siempre que sus argumentos satisfagan el sistema de ecuaciones (5.6).

Tarea 4.

Es necesario hacer la mezcla más barata de tres sustancias. La composición de la mezcla debe incluir al menos 6 unidades del producto químico PERO, al menos 8 unidades de sustancia EN y al menos 12 unidades de sustancia Con. Existen 3 tipos de productos (I, II, III) que contienen estos químicos en las siguientes proporciones (Tabla 10).

Tabla 10 - Datos iniciales para la tarea 4

productos	Sustancias
PERO	EN	Con
yo
II
tercero		1,5

El costo de una unidad de peso del producto es de 1 - 2 rublos, producto II - 3 rublos, producto III - 2,5 rublos.

Vamos a obtener un modelo matemático del problema.

Denote por x 1, x 2, x 3: la cantidad de productos del tipo I, II, III, respectivamente, incluidos en la mezcla.

El costo de una mezcla de tres sustancias se expresa mediante la función

El sistema de restricciones tomará la forma

2 x 1 + x 2 + 3 x 3 > 6

x 1 + 2 x 2 + 1,5 x 3 >8 (5.8)

3x1 + 4x2 + 2x3 >12

Matemáticamente, el problema se formula de la siguiente manera: encontrar el mínimo de la función (5.7) siempre que sus argumentos satisfagan el sistema de desigualdades (5.8).

Tarea 5.

En la tarea 1 se utilizaron todas las materias primas de producción (hormigón). Pero también sucede que algunas de las materias primas no se utilizan. Tales tareas se llaman abiertas. Consideremos uno de estos problemas.

Existen 4 depósitos de combustible con reservas de 500, 300, 500 y 200 Tn y 3 estaciones de servicio con necesidades de 300, 400 y 300 Tn. El costo de transportar una tonelada de combustible desde los depósitos hasta las estaciones de servicio se muestra en la Tabla 11 .

Tabla 11 - Datos iniciales para la tarea 5

Se requiere planificar el transporte de combustible para que los costos sean mínimos.

En el problema, la suma de las reservas de combustible en las instalaciones de almacenamiento es de 500 toneladas más que las necesidades en las estaciones. Por lo tanto, presentamos una estación de servicio ficticia EN con un requerimiento de combustible de 500 toneladas, igual a la diferencia entre la suma de reservas y la suma de necesidades. El costo de transportar el combustible desde el almacenamiento. Un 1, Un 2, Un 3, Un 4 a una estación ficticia A LAS 4 igualar a cero.

Ahora bien, el enunciado del problema bajo consideración no difiere del enunciado del problema 1.

Tarea 6.

Encuentre la masa óptima de una armadura plana bajo las condiciones de resistencia (Figura 22).

Figura 22 - Condiciones de fuerza para la tarea 6

Esta tarea no es tanto económica como técnica: la tarea de optimizar las estructuras de los edificios.

Un sistema de varillas de articulación estáticamente indeterminado (truss) está cargado con una fuerza F.

Es necesario seleccionar las áreas transversales PERO de modo que la masa total METRO la granja era mínima.

Longitud de la varilla L, m, se conoce:

l 1 \u003d 6.3246

l 2 \u003d 6.03 AC \u003d 2

l 3 \u003d 12 CO \u003d 0.6

l 4 \u003d 2.6

La masa de la granja está determinada por la fórmula.

donde ρ - gravedad específica del material de las varillas, kg / m 3.

La expresión (5.9) es la función objetivo, cuyo mínimo debe encontrarse.

Compondremos el sistema de restricciones a partir de las condiciones de fuerza. Se requiere que los esfuerzos en todas las barras de armadura no excedan en valor absoluto la resistencia de diseño del material de la barra R (lo mismo para tensión y compresión).

Por lo tanto, el sistema de restricciones se representa como dos desigualdades

La primera desigualdad en (5.11) significa que la barra trabaja en compresión, la segunda, en tensión. Como las varillas 1 y 4 trabajan solo en compresión y la 2 solo en tracción, el sistema (5.11) se puede escribir como

Con base en las condiciones de equilibrio en los nodos de la armadura, obtenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas:

Sustituyendo estas expresiones en desigualdades (5.12) e introduciendo variables adicionales en, obtenemos un sistema de restricciones en forma de igualdades:

y 1 - RA 1 +1.5812N 4 = -1.5812F

y 2 - RA 2 -5.025N 4 = 0

y 3 - RA 3 -6.5N 4 \u003d 1.5F (5.13)

y 4 - RA 3 +6.5N 4 \u003d -1.5F

y 5 - RA 4 -N 4 \u003d 0

Así, matemáticamente, el problema se plantea de la siguiente manera: encontrar el mínimo de la función (5.9) siempre que sus argumentos satisfagan el sistema de restricciones (5.13).

Así, para varias tareas de producción se obtiene un mismo modelo matemático, que es el siguiente.

Es necesario encontrar el extremo de alguna función cuyos argumentos satisfagan algún sistema de ecuaciones o desigualdades. Estos problemas se denominan problemas de programación matemática.

La función cuyo extremo global se encuentra se denomina función objetivo y las condiciones impuestas a sus argumentos se denominan sistema de restricciones.

Las restricciones se denominan naturales si todos los argumentos de la función objetivo se consideran no negativos.

La forma canónica de un problema de programación matemática es tal forma cuando se encuentra el mínimo global de la función objetivo y el sistema de restricciones, excluyendo las naturales, se expresa mediante igualdades.

Existen los siguientes tipos de programación matemática: lineal, no lineal, dinámica, etc.

Se dice que la programación matemática es lineal si la función objetivo y el sistema de restricciones son lineales con respecto a todos los argumentos.

De lo contrario, la programación matemática se llama no lineal.

La programación matemática se llama dinámica si las condiciones del problema bajo consideración dependen del tiempo.

El área de posible cambio de los argumentos de la función objetivo, determinada por el sistema de restricciones, se denomina área de valores admisibles de los argumentos. Por tanto, el mínimo de la función meta debe buscarse en los puntos pertenecientes a esta región. Se puede demostrar que en el caso de programación lineal, el rango de valores válidos de los argumentos será:

con 2 argumentos: un polígono convexo, ya que el sistema de restricciones en este caso (gráficamente) es un sistema de líneas rectas (Figura 23);

Figura 23 - El rango de valores válidos para dos argumentos

con 3 argumentos - un poliedro convexo;

para n > 3 argumentos, este es un hiperpolitopo convexo.

En programación matemática, estamos hablando de encontrar el extremo global de la función objetivo. Este extremo puede estar dentro o en el borde del rango de valores válidos de los argumentos.

Se puede demostrar que en el caso de la programación lineal, si existe el extremo global de la función objetivo, entonces tiene lugar solo en los vértices del polígono, politopo e hiperpolitopo.

Demos una formulación general del problema de programación lineal en forma canónica. Se requiere encontrar el mínimo global función lineal norte argumentos (funciones objetivo)

siempre que los argumentos de esta función satisfagan el siguiente sistema conjunto (que tiene una solución), indefinido (que tiene un conjunto de soluciones) de ecuaciones algebraicas lineales,

a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2 n x n =b 2(5.15)

…....................................

un metro 1 x 1 + un metro 2 x 2 +…+ un mn x norte =b metro

cuyo rango de matriz r< n .

(El rango de una matriz es el orden más alto de un determinante distinto de cero que se puede componer a partir de esta matriz). El rango de una matriz es igual al número de incógnitas básicas básicas. Supondremos que todos b k > 0. Enumeramos las incógnitas para que las incógnitas libres sean las primeras R desconocido (p = n - r). luego otros r las incógnitas, llamadas básicas, se pueden expresar a partir del sistema (5.15):

x p +1 \u003d β 1 + α 12 x 1 + α 12 x 2 + ... + α 1 p x p

x p +2 \u003d β 2 + α 21 x 1 + α 22 x 2 + ... + α 2 p x p(5.16)

…................................................

x p + r =β r + α r 1 x 1 + α r 2 x 2 +…+α rp x p

El sistema (5.16) se denomina sistema básico de restricciones.

Sustituyendo (5.16) en la expresión (5.14) en lugar de las incógnitas básicas, obtenemos la función objetivo en la forma básica

Especificar la función objetivo en la forma (5.17) y el sistema de restricciones en la forma (5.16) se denomina la forma básica del problema de programación lineal (esta forma del problema de programación lineal es necesaria para el método símplex).

colección ordenada norte cantidades (x 1, x 2, ..., x n), que satisface el sistema de restricciones (5.15) o (5.16), se denomina solución factible (plan).

Una solución factible, en la que todas las incógnitas libres son iguales a cero, se denomina solución básica factible o plan de soporte (son solo los vértices de un polígono, poliedro, hiperpoliedro). colección ordenada norte cantidades (x 1 x 2, …, x n), satisfacer el sistema de restricciones (5.15) o (5.16) y dar el extremo global de la función objetivo (5.14) o (5.17) se denomina solución óptima (plan).

Se sabe que el diseño óptimo, si existe, pertenece al conjunto de diseños de soporte.

El número de planes base es finito. es igual Con(número de combinaciones de norte sobre R). Pero, por ejemplo, el número C 20 50 = 10 20- muy grande, es difícil enumerar todos los planes de referencia, por lo que tal enumeración no es realista.

El economista estadounidense J. Dantzig propuso un método de enumeración dirigida de planes de referencia, en el que la función objetivo decrece todo el tiempo. Este método se llama el método simplex. Con tal enumeración dirigida, necesitamos llevar a cabo como máximo 2n enumeración de planes básicos.

Describamos el procedimiento para aplicar el método símplex de forma general.

1 Un sistema de restricciones de la forma (5.15) debería reducirse a una forma básica de acuerdo con las reglas del álgebra lineal.

2 Poniendo en el sistema básico de ecuaciones todas las incógnitas libres iguales a cero, necesitas encontrar los valores de las incógnitas básicas. Si estos valores no son negativos, entonces el primer plan original será el de referencia. De lo contrario, se deben elegir otras incógnitas libres para que el diseño original sea una referencia.

3 En la expresión de la función objetivo, las incógnitas básicas deben ser reemplazadas por sus expresiones del sistema básico de ecuaciones.

4 Poniendo en la expresión encontrada de la función objetivo todas las incógnitas libres iguales a cero, encontramos el valor de la función objetivo correspondiente al plan de referencia seleccionado.

5 Si todos los coeficientes para las incógnitas libres en la función objetivo no son negativos, entonces el plan de referencia encontrado será óptimo y el valor encontrado de la función objetivo será su mínimo global.

6 Si no todos los coeficientes para las incógnitas libres de la función objetivo son no negativos, debe elegir una incógnita libre con un coeficiente negativo, por ejemplo, xα(normalmente, la incógnita se toma con el máximo coeficiente negativo en valor absoluto). A continuación, coloque en el sistema básico de ecuaciones todas las incógnitas libres, excepto x igual a cero y determine el valor máximo posible x, bajo el cual todas las incógnitas básicas son no negativas.

7 Tu de las incógnitas básicas, por ejemplo, x β, que desaparece en el valor especificado xα, debe elegirse para la incógnita libre en lugar de X .

desconocido xα convertir a básico.

El software de la computadora contiene un programa estándar para resolver problemas de programación lineal usando el método simplex.

Ayuda para enseñar

CDU 69-50 (07)

Crítico:

Doctor en Economía, Profesor Grakhov V.P.

Compilado por:

Modelado matemático en la construcción. Ayuda para enseñar/ Comp. Ivanova SS - Izhevsk: Editorial de IzhGTU, 2012. - 100 p.

CDU 69-50 (07)

Ó Ivanova SS 2012

Editorial Ó IzhGTU, 2012

Introducción

1. Visión general de la aplicación de modelos en economía

1.1. Panorama historico

2. Los principales tipos de tareas resueltas en la organización, planificación y gestión de la construcción.

2.1. Tareas de distribución

2.2. Tareas de reemplazo

2.3. Buscar tareas

2.6. Tareas de la teoría de la programación

3. Modelado en la construcción

3.1. Disposiciones básicas

3.2. Tipos de modelos económicos y matemáticos en el campo de la organización, planificación y dirección de obra

3.2.1. Modelos de programación lineal

3.2.2. Modelos no lineales

3.2.3. Modelos de programación dinámica

3.2.4. Modelos de Optimización (Enunciado del Problema de Optimización)

3.2.5. Modelos de gestión de inventario

3.2.6. Modelos enteros

3.2.7. Modelado digital (método de enumeración)

3.2.8. modelos de simulación

3.2.9. Modelos probabilísticos - estadísticos

3.2.10. Modelos de teoría de juegos

3.2.11. Modelos de agregación iterativos

3.2.12. Modelos organizativos y tecnológicos

3.2.13. Modelos gráficos

3.2.14. modelos de red

4. Modelado organizacional de los sistemas de gestión de la construcción

4.1. Las principales direcciones de modelado de sistemas de gestión de la construcción.

4.2. Aspectos de los sistemas organizativos y de gestión (modelos)

4.3. División de modelos organizativos y de gestión en grupos

4.3.1. Modelos del primer grupo.

4.3.2. Modelos del segundo grupo.

4.4. Tipos de modelos del primer grupo.

4.4.1. Modelos de decisión

4.4.2. Modelos de información de una red de comunicación.

4.4.3. Modelos compactos de información

4.4.4. Información integrada y modelos funcionales

4.5. Tipos de modelos del segundo grupo.

4.5.1. Modelos de relaciones organizativas y tecnológicas

4.5.2. Modelo de relaciones organizacionales y gerenciales

4.5.3. Modelo de análisis estadístico factorial de las relaciones empresariales

4.5.4. Modelos funcionales deterministas

4.5.5. Modelos organizativos de colas

4.5.6. Modelos organizativos y de información

4.5.7. Principales etapas y principios del modelado.

5. Métodos de análisis de correlación-regresión de la dependencia entre factores incluidos en modelos económicos y matemáticos

5.1. Tipos de análisis de correlación-regresión

5.2. Requerimientos para los factores incluidos en el modelo

5.3. Análisis de correlación-regresión pareada

5.4. Análisis de correlación múltiple

INTRODUCCIÓN

La construcción moderna es un sistema muy complejo, en el que interviene un gran número de participantes: el cliente, los contratistas generales y subcontratistas de construcción e instalación y organizaciones especializadas; bancos comerciales y entidades y organizaciones financieras; institutos de diseño y, a menudo, de investigación; proveedores de materiales de construcción, estructuras, partes y productos semielaborados, equipos tecnológicos; organizaciones y organismos que diferentes tipos control y supervisión de la construcción; subdivisiones que operan maquinaria y mecanismos de construcción, vehículos etc.

Para construir un objeto, es necesario organizar el trabajo coordinado de todos los participantes en la construcción.

La construcción tiene lugar en un entorno en constante cambio. Los elementos de tal proceso están interconectados y se influyen mutuamente, lo que complica el análisis y la búsqueda de soluciones óptimas.

En la etapa de diseño de una construcción, se establecen cualquier otro sistema de producción, sus principales parámetros técnicos y económicos, estructura organizacional y gerencial, la tarea es determinar la composición y el volumen de los recursos: activos fijos, capital de trabajo, la necesidad de ingeniería, personal de trabajo, etc

Para que todo el sistema de construcción actúe convenientemente, para utilizar los recursos de manera eficiente, es decir, traicionado productos terminados- edificios, estructuras, comunicaciones de ingeniería o sus complejos dentro de un plazo determinado, de alta calidad y con el menor costo de mano de obra, recursos financieros, materiales y energéticos, uno debe ser capaz de analizar de manera competente, desde un punto de vista científico, todos los aspectos de su funcionamiento, encontrar las mejores soluciones, asegurando su competitividad efectiva y confiable en el mercado de servicios de construcción.

Durante la búsqueda y análisis de posibles soluciones para crear la estructura óptima de la empresa, organizar la producción de construcción, etc. siempre existe el deseo (obligatorio) de seleccionar la mejor opción (óptima). Para ello es necesario utilizar cálculos matemáticos, lógica(representaciones) del proceso de construcción de un objeto, expresado en forma de números, gráficos, tablas, etc. - en otras palabras, representar la construcción en forma de modelo, utilizando para ello la metodología de la teoría del modelado.

Cualquier modelo se basa en leyes de conservación. Interconectan el cambio en los estados de fase del sistema y las fuerzas externas que actúan sobre él.

Cualquier descripción del sistema, objeto ( compañía de construcción, el proceso de erección de un edificio, etc.) comienza con una idea de su estado en este momento llamado la fase.

El éxito de la investigación, el análisis, la predicción del comportamiento del sistema de construcción en el futuro, es decir. la aparición de los resultados deseados de su funcionamiento depende en gran medida de la precisión con la que el investigador "adivina" aquellas variables de fase que determinan el comportamiento del sistema. Poniendo estas variables en alguna descripción matemática (modelo) de este sistema para analizar y predecir su comportamiento en el futuro, es posible utilizar un arsenal bastante extenso y bien desarrollado de métodos matemáticos, computadoras electrónicas.

La descripción de un sistema en lenguaje matemático se llama modelo matemático, y la descripción de un sistema económico se llama modelo económico-matemático.

Numerosos tipos de modelos se utilizan ampliamente para el análisis preliminar, la planificación y la búsqueda de formas eficaces de organización, planificación y gestión de la construcción.

El propósito de este libro de texto es familiarizar a los estudiantes de las universidades y facultades de construcción de una forma muy concisa y simple con el arsenal de las principales tareas que enfrentan los constructores, así como con los métodos y modelos que contribuyen al progreso del diseño, organización y gestión de la construcción. y son ampliamente utilizados en la práctica diaria.

Creemos que todo ingeniero, gerente que trabaje en el campo de la construcción, en la construcción de un objeto específico, en un instituto de diseño o investigación, debe tener una idea sobre las principales clases de modelos, sus capacidades y aplicaciones.

Dado que la formulación de cualquier problema, incluido el algoritmo para resolverlo, es en cierto sentido una especie de modelo y, además, la creación de cualquier modelo comienza con la formulación del problema, consideramos posible comenzar el tema del modelado con una lista de las principales tareas a las que se enfrentan los constructores.

Los métodos matemáticos en sí mismos no son objeto de consideración en este tutorial, y se dan modelos y tareas específicas teniendo en cuenta su importancia y frecuencia de aplicación en la práctica de la organización, planificación y gestión de la construcción.

En el caso de crear un modelo de objetos de construcción complejos, los programadores, matemáticos, ingenieros de sistemas, tecnólogos, psicólogos, economistas, gerentes y otros especialistas participan en el proceso de modelado y análisis de modelos, y también se utilizan computadoras electrónicas.

1. REVISIÓN DE LA APLICACIÓN DE MODELOS EN LA ECONOMÍA

1.1. Panorama historico

Las matemáticas se han utilizado en la actividad humana práctica durante mucho tiempo. Durante muchos siglos, la geometría y el álgebra se han utilizado para una variedad de cálculos y medidas económicas. Aunque el desarrollo de las matemáticas ha estado determinado durante mucho tiempo principalmente por las necesidades de las ciencias naturales y la lógica interna de las propias matemáticas, la aplicación de métodos matemáticos en la economía también tiene un rico pasado.

El fundador de la economía política clásica V. Petty (1623-1687) escribió en el prefacio de su "Aritmética política": "... en lugar de usar palabras solo en un grado comparativo y superlativo y recurrir a argumentos especulativos, me embarqué en la camino de expresar mis opiniones en el lenguaje de los números, pesos y medidas..." (Petty V. Trabajos económicos y estadísticos. M., Sotsekgiz, 1940, p. 156).

El primer modelo mundial de la economía nacional fue creado por el científico francés F. Quesnay (1694-1774). En 1758 publicó la primera versión de su famoso "Cuadro económico", llamado "zigzag"; la segunda versión, "fórmula aritmética", se publicó en 1766. “Este intento”, escribió K. Marx sobre la mesa de F. Quesnay, “realizado en el segundo tercio del siglo XVIII, durante la infancia de la economía política, fue una idea extremadamente brillante, sin duda la más brillante de todas las que la economía política ha puesto en marcha. adelante hasta ahora". (Marx K., Engels F. Soch. Ed. 2nd, vol. 26, part 1, p. 345).

La "Tabla Económica" de F. Quesnay es un diagrama (modelo gráfico-numérico) del proceso de reproducción social, del cual concluye que el curso normal de la reproducción social sólo puede llevarse a cabo si se observan ciertas proporciones materiales óptimas.

Los trabajos de K. Marx tuvieron un impacto significativo en el desarrollo de la metodología de la investigación económica y matemática. Su "Capital" contiene muchos ejemplos del uso de métodos matemáticos: un análisis paramétrico detallado de la fórmula del beneficio medio; ecuaciones que vinculan la renta absoluta, diferencial y total; formulación matemática de la relación entre costo y productividad laboral (el costo es directamente proporcional al poder productivo del trabajo), leyes de masa plusvalía y circulación monetaria, condiciones de formación de los precios de producción, etc. P. Lafargue en sus memorias sobre K. Marx escribió: “En las matemáticas superiores, encontró el movimiento dialéctico en su forma más lógica y al mismo tiempo más simple. También creía que la ciencia alcanza la perfección solo cuando logra usar las matemáticas. " (Memorias de Marx y Engels. M., Gos-politizdat, 1956, p. 66).

En el marco de la ciencia económica burguesa de los siglos XIX-XX, se pueden distinguir tres etapas principales en el desarrollo de la investigación económica y matemática: la escuela matemática en economía política, la dirección estadística y la econometría.

Los representantes de la escuela matemática creían que era posible fundamentar las disposiciones de la teoría económica solo matemáticamente, y todas las conclusiones obtenidas por otros medios podrían aceptarse en mejor caso como hipótesis científicas. El fundador de la escuela matemática es el científico francés, destacado matemático, filósofo, historiador y economista O. Courno (1801-1877), quien publicó en 1838 el libro “Investigación de los Principios Matemáticos de la Teoría de la Riqueza”. Los representantes más destacados de la escuela matemática fueron: G. Gossen (1810-1858),| L. Walras (1834-1910), W. Jevons (1835-1882), F. Edgeworth (1845-1926), V. Pareto (1848-1923), V. Dmitriev (1868-1913). En general, esta escuela pertenece a la dirección subjetivista de la economía política burguesa, cuyos principios ideológicos y metodológicos han sido repetidamente criticados por los estudiosos marxistas. Al mismo tiempo, la escuela matemática mostró grandes posibilidades para el uso de modelos matemáticos.

Los representantes de la escuela matemática propusieron e intentaron desarrollar una serie de enfoques y principios teóricos importantes: el concepto de un óptimo económico; aplicación de indicadores de costos y efectos marginales en la gestión racional; la interconexión de los problemas de fijación de precios y la proporcionalidad general de la economía nacional. Los conceptos de curvas de indiferencia y el núcleo del sistema económico de F. Edgeworth, el concepto de óptimo polivalente de V. Pareto, el modelo de equilibrio económico general de L. Walras, la fórmula para calcular los costes laborales totales y otros recursos de V. Dmitriev han entrado en la ciencia económica moderna y se utilizan ampliamente en ella.

La dirección estadística (economía estadística), que surgió en el umbral del siglo XX, representó, desde el punto de vista de la metodología de la investigación, el opuesto directo de la escuela matemática.

El deseo de utilizar material empírico, hechos económicos concretos, fue sin duda un fenómeno progresivo. Los ideólogos de la economía estadística, habiendo proclamado la tesis: "la ciencia es medida", cayeron en el otro extremo, descuidando Análisis teorico. En el marco de la dirección estadística, se han desarrollado una gran cantidad de "modelos matemáticos y estadísticos" de fenómenos económicos, utilizados principalmente para pronósticos a corto plazo. Un ejemplo típico es el "barómetro de Harvard", un modelo para predecir las condiciones económicas (que predice el "clima económico"), desarrollado por científicos de la Universidad de Harvard (EE. UU.) bajo la dirección de T. Parson (1902-1979).

Harvard y otros modelos similares construidos en muchos países capitalistas eran de naturaleza extrapolativa y no revelaban los factores subyacentes de la economía. Por lo tanto, durante varios años después de la Primera Guerra Mundial, durante el período de estabilización económica, aunque predijeron bien el "clima económico", "no notaron" el acercamiento de la mayor crisis económica en la historia del capitalismo en 1929. -1932. El colapso de la Bolsa de Valores de Nueva York en el otoño de 1929 significó al mismo tiempo el declive de la tendencia estadística en la investigación económica y matemática.

El mérito de la dirección estadística es el desarrollo de cuestiones metodológicas de procesamiento de datos económicos, generalizaciones estadísticas y análisis estadístico (alineación de series temporales y su extrapolación, selección de fluctuaciones estacionales y cíclicas, análisis factorial, análisis de correlación y regresión, prueba de hipótesis estadísticas , etc.).

La dirección estadística fue reemplazada por la econometría, que trata de combinar las ventajas de la escuela matemática y la economía estadística. El término econometría (o econometría) para denotar una nueva dirección en la ciencia económica fue introducido por el científico noruego R. Frisch (1895-1973), quien proclamó que la economía es una síntesis de la teoría económica, las matemáticas y la estadística. La econometría es el área de más rápido desarrollo de la economía burguesa. Es difícil señalar tales problemas teóricos y prácticos de la economía capitalista, en cuya solución no se aplicarían en la actualidad métodos y modelos matemáticos. La modelización matemática se ha convertido en la tendencia más prestigiosa de la ciencia económica en Occidente. No es casualidad que desde la creación de los Premios Nobel de Economía (1969), se hayan otorgado, por regla general, por investigaciones económicas y matemáticas. Entre los premios Nobel se encuentran los econometristas más destacados: R. Frisch, J. Tinbergen, P. Samuelson, D. His, V. Leontiev, T. Koopmans, K. Arrow.

1.2. Desarrollo de modelado en Rusia.

La contribución de los científicos rusos al desarrollo de la investigación económica y matemática es significativa. En 1867, en la revista Otechestvennye Zapiski, se publicó una nota sobre la eficacia de la aplicación de métodos matemáticos al estudio de los fenómenos económicos. Las publicaciones rusas analizaron críticamente el trabajo de Cournot, Walras, Pareto y otros matemáticos occidentales.

Desde finales del siglo XIX, han aparecido estudios económicos y matemáticos originales de científicos rusos: V.K. Dmitriev, V.I. Bortkevich, V.S. Voitinsky, M. Orzhnetsky, V.V. Samsonov, N.A. .Shaposhnikova.

Trabajo interesante sobre la aplicación de métodos de estadística matemática, en particular sobre el análisis de correlación de fenómenos económicos, fue realizado por A.A. Chuprov (1874-1926).

El matemático más destacado de la Rusia prerrevolucionaria fue V. K. Dmitriev (1868-1913). Su primera obra conocida, "Teoría del Valor de D. Ricardo. Una Experiencia de la Síntesis Orgánica del Valor del Trabajo y la Teoría de la Utilidad Marginal" fue publicada en 1898. La principal obra de V.K. y los precios equilibrados como sistema de ecuaciones lineales con coeficientes La "Fórmula V.K.Dmitrieva" después de varias décadas ha encontrado una amplia aplicación en el modelado de las relaciones entre ramas en la URSS y en el extranjero.

Ampliamente conocido por su trabajo sobre la teoría de la probabilidad y la estadística matemática E.E. Slutsky (1880-1948). En 1915, publicó en la revista italiana "Giomale degli economisti e rivista di statistica", No. 1, el artículo "Sobre la teoría del equilibrio presupuestario del consumidor", que tuvo una gran influencia en la teoría económica y matemática. Después de 20 años, este artículo ha recibido reconocimiento mundial.

El ganador del Premio Nobel D. Hicks en su libro "Coste y capital" (1939) escribió que E.E. Slutsky fue el primer economista que dio un paso significativo en comparación con los clásicos de la escuela matemática. D. Hicks evaluó su libro como el primer estudio sistemático de la teoría descubierta por E.E. Slutskin" (Hicks I.R. Value and capital. Oxford, 1946, p. economy", señaló en la revista "Econometrics", que el trabajo de Slutsky tuvo "una gran y una influencia duradera en el desarrollo de la econometría".

E.E. Slutsky es uno de los fundadores de la praxeología (la ciencia de los principios de la actividad humana racional) y el primero en introducir la praxeología en la economía.

De gran importancia en el desarrollo de la ciencia económica, la creación de un sistema nacional de contabilidad, planificación y gestión fueron trabajos cientificos y actividades prácticas de VI Lenin (1870-1924). Los trabajos de VI Lenin determinaron los principios y problemas principales de la investigación sobre el modelado de la economía socialista.

En la década de 1920, la investigación económica y matemática en la URSS se llevó a cabo principalmente en dos direcciones: modelar el proceso de reproducción ampliada y aplicar los métodos de las estadísticas matemáticas en el estudio de la situación económica y en la previsión.

Uno de los primeros especialistas soviéticos en el campo de la investigación económica y matemática fue A.A. Konyus, quien publicó un artículo sobre este tema en 1924 "El problema del verdadero índice del costo de vida" ("Boletín Económico del Instituto de Mercado", 1924, núm. 11-12).

Un hito significativo en la historia de la investigación económica y matemática fue el desarrollo de G.A. Feldman (1884-1958) ) modelos matemáticos de crecimiento económico. Esbozó sus principales ideas sobre el modelado de la economía socialista en dos artículos publicados en la revista "Planned Economy" en 1928 y 1929. Los artículos de G. A. Feldman estaban muy por delante del trabajo de los economistas occidentales sobre modelos dinámicos macroeconómicos y, en mayor medida, en modelos bisectoriales de crecimiento económico. En el extranjero, estos artículos fueron "descubiertos" solo en 1964 y despertaron un gran interés.

En 1938-1939. El matemático y economista de Leningrado L.V. Kantorovich, como resultado del análisis de una serie de problemas de organización y planificación de la producción, formuló Nueva clase Problemas condicionales-extremos con restricciones en forma de desigualdades y métodos propuestos para su solución. Esta nueva área de las matemáticas aplicadas se denominó más tarde "programación lineal". LV Kantorovich (1912-1986) es uno de los creadores de la teoría de la planificación y gestión óptimas de la economía nacional, la teoría del uso óptimo de las materias primas. En 1975, L.V. Kantorovich, junto con el científico estadounidense T. Koopmans, recibió el Premio Nobel por la investigación sobre el uso óptimo de los recursos.

El economista Novozhilov V.V. hizo una gran contribución al uso de métodos económicos y matemáticos. (1892-1970) - en el campo de la correlación de costos y resultados en la economía nacional; economista y estadístico Nemchinov V.S. (1894-1964) - en materia de modelado económico y matemático de una economía planificada; economista Fedorenko N.P. - en la resolución de problemas del funcionamiento óptimo de la economía del país, el uso de métodos matemáticos y computadoras en la planificación y gestión, así como muchos otros destacados economistas y matemáticos rusos.

2. PRINCIPALES TIPOS DE TAREAS RESUELTAS EN LA ORGANIZACIÓN, PLANIFICACIÓN Y DIRECCIÓN DE LA OBRA

El papel de los cálculos técnicos y económicos para el análisis y la previsión de actividades, la planificación y la gestión de los sistemas de construcción es significativo, y la clave de ellos son los problemas de elección de soluciones óptimas. En este caso, la decisión es una elección de parámetros que caracterizan la organización de un determinado evento, y esta elección depende casi por completo de la persona que toma la decisión.

Las decisiones pueden ser exitosas o no exitosas, razonables o irrazonables. La práctica, por regla general, está interesada en soluciones óptimas, es decir. los que son, por una u otra razón, preferibles, mejores que otros.

La elección de soluciones óptimas, especialmente en sistemas dinámicos probabilísticos complejos, que incluyen sistemas de construcción, es impensable sin el uso generalizado de métodos matemáticos para la resolución de problemas extremos y la tecnología informática.

La construcción de cualquier objeto de construcción ocurre mediante la realización de una gran cantidad de trabajos diversos en una secuencia determinada.

Para realizar cualquier tipo de trabajo se requiere un determinado conjunto de materiales, máquinas, pequeña mecanización, recursos humanos, apoyo organizativo, etc. etc. Además, muchas veces la cantidad y calidad de los recursos asignados determina la duración de estas obras.

Al distribuir correctamente (o, como dicen, "óptimamente") los recursos, se puede influir en la calidad, el tiempo, el costo de construcción y la productividad laboral.

2.1. Tareas de distribución

Los problemas de asignación generalmente surgen cuando hay una cantidad de trabajos por realizar y se requiere elegir la asignación más eficiente de recursos y trabajos. Las tareas de este tipo se pueden dividir en tres grupos principales.

Los problemas de distribución del primer grupo se caracterizan por las siguientes condiciones.

1. Hay una serie de operaciones que deben realizarse.

2. Hay suficientes recursos disponibles para completar todas las operaciones.

3. Algunas operaciones se pueden realizar de varias formas, utilizando varios recursos, sus combinaciones y cantidades.

4. Algunas formas de realizar una operación son mejores que otras (más baratas, más rentables, menos lentas, etc.).

5. Sin embargo, la cantidad de recursos disponibles no es suficiente para realizar cada operación de manera óptima.

La tarea es encontrar tal distribución de recursos entre las operaciones que maximice la eficiencia general del sistema. Por ejemplo, los costos totales se pueden minimizar o la ganancia total se puede maximizar.

El segundo grupo de tareas surge cuando no hay suficientes recursos disponibles para realizar todas las operaciones posibles. En estos casos, hay que elegir las operaciones a realizar, así como determinar cómo realizarlas.

Las tareas del tercer grupo surgen cuando es posible regular la cantidad de recursos, es decir. determinar qué recursos se deben agregar y cuáles se deben descartar.

La mayoría de los problemas de este tipo se resuelven para optimizar la construcción y procesos tecnológicos. Los principales medios de su análisis son modelos de programación matemática, gráficos de red.

2.2. Tareas de reemplazo

Las tareas de reposición están relacionadas con la predicción de la reposición de equipos por su obsolescencia física o.

Hay dos tipos de problemas de sustitución. En los problemas del primer tipo, se consideran objetos, algunas de cuyas características se deterioran durante su funcionamiento, pero ellos mismos fallan por completo después de un tiempo bastante largo, habiendo realizado una cantidad significativa de trabajo.

Cuanto más tiempo se opera un objeto de este tipo sin mantenimiento preventivo o reparaciones importantes, menos eficiente se vuelve su trabajo y aumenta el costo por unidad de producción.

Para mantener la eficiencia de dicho objeto, es necesario mantenerlo y repararlo, lo que está asociado con ciertos costos. Cuanto más tiempo se opere, mayor será el costo de mantenerlo en condiciones de funcionamiento. Por otro lado, si dichos objetos se reemplazan con frecuencia, aumenta el monto de la inversión de capital. La tarea se reduce, en este caso, a determinar el procedimiento y el momento de la sustitución, en el que se alcancen los costes operativos totales mínimos y las inversiones de capital.

El método más general para resolver problemas de este tipo es la programación dinámica.

Los objetos del grupo en consideración son equipos de construcción de carreteras, equipos, vehículos, etc.

El segundo tipo de objetos se caracteriza por el hecho de que fallan por completo repentinamente o después de un cierto período de tiempo. En esta situación, la tarea es determinar el momento razonable del reemplazo individual o grupal, así como la frecuencia de esta operación, mientras se intenta desarrollar una estrategia de reemplazo que minimice los costos, incluido el costo de los elementos, las pérdidas por fallas y los costos de reemplazo. .

Los objetos del segundo tipo incluyen piezas, ensamblajes, unidades de equipos de construcción de carreteras, equipos. Para resolver problemas del segundo tipo se utilizan métodos probabilísticos y modelado estadístico.

Un caso especial de problemas de reemplazo son los problemas de operación y reparación.

2.3. Buscar tareas

Las tareas de búsqueda están relacionadas con la definición. mejores maneras obtención de información con el fin de minimizar el monto total de dos tipos de costos: los costos de obtención de información y los costos ocasionados por errores en las decisiones tomadas por falta de información veraz y oportuna. Estas tareas se utilizan cuando se considera una amplia gama de problemas de análisis. actividad económica organización de la construcción, por ejemplo, tareas de estimación y previsión, construcción de un sistema de control de calidad, muchos procedimientos contables, etc.

Los medios utilizados para resolver tales problemas son principalmente probabilísticos. y métodos de estadística.

2.4. Tareas en cola o Tareas en cola

La teoría de las colas es una sección de la teoría de la probabilidad, que estudia el comportamiento de los sistemas que consisten, por regla general, en 2 subsistemas (ver Fig. 1). Uno de ellos es el servicio y el otro es la fuente de las solicitudes de servicio, que forman un flujo de naturaleza aleatoria. Las aplicaciones que no se sirven y el momento de llegada forman una cola, por lo que la teoría de las colas a veces se denomina teoría de las colas. Esta teoría responde a la pregunta de cómo debería ser el subsistema de servicio para que las pérdidas económicas totales del tiempo de inactividad del subsistema de servicio y del tiempo de inactividad de las solicitudes en la cola sean mínimas. Muchos problemas del campo de la organización y gestión en la construcción están relacionados con problemas resueltos por métodos de teoría de colas.

Arroz. 1. sistema de colas

Por ejemplo, en colas o problemas de colas, se consideran las conexiones entre el flujo de trabajo de construcción y las máquinas utilizadas para mecanizarlos. Las tareas típicas de colas son tareas para determinar el número de equipos de construcción, maquinaria, organización de líneas automáticas y sistemas de automatización integrados. procesos de producción, tareas relacionadas con la estructura organizativa y productiva de las organizaciones constructoras, etc.

Para resolver los problemas de colas se suele utilizar el método de las pruebas estadísticas, que consiste en reproducir en una computadora el proceso de construcción o, en otras palabras, un proceso aleatorio que describe el comportamiento del sistema, seguido del procesamiento estadístico de los resultados de su marcha.

2.5. Tareas de gestión de inventario (creación y almacenamiento)

Cada sitio de construcción necesita estructuras de construcción, materiales, productos semiacabados, equipos sanitarios, etc. Por regla general, sus suministros y gastos son desiguales, a menudo se les introduce un elemento de azar. Para que la producción de la construcción no se retrase por falta de materiales y equipos, debe haber algún suministro en el sitio de construcción. Sin embargo, esta reserva no debe ser grande, ya que el almacenamiento de materiales de construcción y diversos equipos está asociado con los costos de construcción y operación de almacenes, así como con la congelación de los fondos gastados en su compra y construcción.

Hay dos tipos de costes asociados a los recursos utilizados /1/:

Costos que aumentan con el crecimiento del inventario;

Costos que disminuyen a medida que aumentan los inventarios.

Los costos crecientes incluyen costos de almacenamiento; pérdidas por envejecimiento, deterioro; impuestos, primas de seguro etc.

Los costos que disminuyen con un aumento en el inventario pueden ser de cuatro tipos.

1. Costes asociados a falta de existencias o entregas fuera de plazo.

2. Costos de las operaciones preparatorias y de adquisición: cuanto mayor sea el volumen de productos comprados o producidos, menos a menudo se procesan los pedidos.

3. Precio de venta o costos directos de producción. La venta a precios reducidos, la compra de bienes en grandes cantidades requiere un aumento de las existencias.

4. Costos ocasionados por la contratación, despido y capacitación de los trabajadores.

Resolver problemas de gestión de inventario le permite determinar qué pedir, cuánto pedir y cuándo, para minimizar los costos asociados tanto con la creación de exceso de existencias como con su nivel insuficiente, cuando surgen costos adicionales debido a una interrupción en el ritmo de producción.

Los medios para analizar tales problemas son la teoría de la probabilidad, los métodos estadísticos, los métodos de programación lineal y dinámica, los métodos de modelado.

2.6. Tareas de la teoría de la programación

Muchas tareas de planificación y gestión de la producción de la construcción requieren ordenar en el tiempo el uso de algún sistema fijo de recursos (estructuras prefabricadas, grúas, vehículos, recursos laborales etc.) para realizar un conjunto predeterminado de trabajos en una cantidad óptima de tiempo.

Un abanico de cuestiones relacionadas con la construcción del óptimo (según uno u otro criterio) planes de calendario, con el desarrollo de métodos matemáticos para la obtención de soluciones, basados ​​en el uso de modelos apropiados, se estudia en la teoría de programación.

Los problemas de la teoría de la programación surgen cuando existe la necesidad de elegir uno u otro orden de ejecución del trabajo, es decir, Los modelos estudiados en la teoría de la programación reflejan las situaciones específicas que se presentan en la organización de cualquier producción, en la programación de la construcción, en todos los casos de actividad humana con propósito.

Los objetivos prácticos requieren que el modelo de producción de la construcción refleje más plenamente los procesos reales y al mismo tiempo sea tan simple que los resultados deseados puedan obtenerse en un tiempo aceptable. Los modelos analizados dentro de la teoría de la programación son un compromiso razonable entre estas tendencias naturales pero contradictorias.

3. MODELIZACIÓN EN LA CONSTRUCCIÓN

3.1. Disposiciones básicas

Casi cualquier tarea de organización, planificación y gestión de la construcción se caracteriza por una multiplicidad de sus posibles soluciones, muchas veces una gran incertidumbre y dinamismo de los procesos en curso. En el proceso de desarrollar un plan de trabajo para una organización de construcción, un plan para erigir un objeto de construcción, uno tiene que comparar una gran cantidad de opciones entre ellas y elegir la mejor de ellas de acuerdo con el criterio seleccionado. Criterio- este es el indicador que es una medida de la efectividad del plan (camino) para lograr la meta.

Para el análisis preliminar y la búsqueda de formas efectivas de organización, así como para la planificación y gestión de la construcción, se utiliza el modelado.

Modelado- esta es la creación de un modelo que conserva las propiedades esenciales del original, el proceso de construcción, estudio y aplicación del modelo. El modelado es la principal herramienta para el análisis, optimización y síntesis de los sistemas constructivos. Modelo- esta es una representación simplificada de algún objeto (sistema), proceso, más accesible para el estudio que el objeto mismo.

La simulación permite realizar experimentos, analizar los resultados finales no sobre un sistema real, sino sobre su modelo abstracto y una representación-imagen simplificada, generalmente involucrando una computadora para este propósito. Al mismo tiempo, debe tenerse en cuenta que el modelo es solo una herramienta de investigación y no un medio para obtener decisiones vinculantes. Al mismo tiempo, permite destacar los rasgos característicos más esenciales de un sistema real. El modelo, así como cualquier abstracción científica, incluye las palabras de VI Lenin: "Pensar, ascendiendo de lo concreto a lo abstracto, no se aparta ... de la verdad, sino que se acerca a ella ... ) las abstracciones reflejan la naturaleza más profunda, más importante, más completo" (V.I. Lenin. Poli. sobr. soch. Ed. 5th, vol. 29, p. 152).

La construcción moderna como objeto del sistema se caracteriza por un alto grado de complejidad, dinamismo, comportamiento probabilístico, una gran cantidad de elementos constitutivos con relaciones funcionales complejas y otras características. Para análisis efectivo y la gestión de objetos de sistemas tan complejos, es necesario disponer de un aparato de modelado suficientemente potente. Actualmente, la investigación se lleva a cabo intensamente en el campo de la mejora del modelado de la construcción, sin embargo, la práctica todavía tiene modelos con capacidades bastante limitadas para una visualización totalmente adecuada. procesos reales producción de edificios. Actualmente es casi imposible desarrollar un modelo universal y un método único para su implementación. Una de las formas de resolver este problema es la construcción de modelos y métodos económicos y matemáticos locales para su implementación en máquinas.

En general, los modelos se dividen en físico e icónico. Los modelos físicos tienden a conservar la naturaleza física del original.

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Los estudiantes, estudiantes de posgrado, jóvenes científicos que utilizan la base de conocimientos en sus estudios y trabajos le estarán muy agradecidos.

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN Y CIENCIA DE RUSIA

presupuesto del estado federal institución educativa educación profesional superior

"Universidad Técnica Estatal de Tver"

Departamento de producción de productos y estructuras de construcción.

NOTA EXPLICATIVA

para Papel a plazo en la disciplina "Modelado matemático en la resolución de problemas científicos y técnicos en la construcción"

Lo hace un estudiante:

Akushko A.S.

Supervisor:

Novichenkova T. B.

1. Datos iniciales

2. Determinación de la relación agua-cemento

3. Determinación del requerimiento de agua de la mezcla de concreto.

4. Determinación del consumo de cemento y áridos

5. Corrección de la demanda de agua de la mezcla

6. Corrección de la composición del hormigón según la densidad real de la mezcla de hormigón

7. Corrección de la relación agua-cemento

8. Determinación de la composición de producción de hormigón y la cantidad de materiales para dosificar una hormigonera.

9. Construcción de modelos matemáticos de las dependencias de las propiedades de la mezcla de hormigón y hormigón, sobre su composición en base a los resultados del experimento planificado.

Lista de literatura usada

1. Datos iniciales

pilas de productos

Grado de hormigón para resistencia M200

Grado de resistencia del cemento PC 550

El tamaño más grande de piedra triturada (grava) Piedra triturada NK 40

Materiales, tipo de aditivo plastificante C-3

ordinario, plastificante

Contenido de humedad de la arena, Wp 1%

Humedad de piedra triturada (grava), Wshch (g) 2%

Capacidad de la hormigonera, Vbs 750 l

2 . Definición de relación agua-cemento

La relación agua-cemento está determinada por las fórmulas:

1) para hormigón ordinario con

2) para hormigón de alta resistencia< 0,4

La fórmula (1) debe aplicarse si , en otros casos, se debe utilizar la fórmula (2). Valores del coeficiente PERO y PERO 1 se toma de la tabla 1.

Tabla 1 - Valores de los coeficientes PERO y PERO 1

Figura 1 - Cálculo de la relación agua-cemento

3 . Definicióndemanda de agua de la mezcla de concreto

Para determinar la demanda de agua de la mezcla de concreto, primero se asigna la trabajabilidad de la mezcla de concreto. Esto se basa en las siguientes consideraciones. El aumento de la rigidez de la mezcla de hormigón siempre ahorra cemento, pero requiere un equipo de moldeo más potente para la compactación o un aumento en la duración de la compactación. La trabajabilidad de la mezcla se selecciona aproximadamente de acuerdo a la Tabla 2 y finalmente se determina de acuerdo a los resultados de las pruebas de producción, logrando el uso de mezclas lo más duras posibles para estas condiciones.

Marca de mezcla de concreto	Tipo de producto y método de fabricación.	trabajabilidad
		Proyecto estándar con bigote, cm	Rigidez
	Vibrolaminado, prensado de rodillos; productos moldeados con decapado inmediato.		31 y más
	Anillos de alcantarillado, bloques de destino, elementos de piso hueco, bordillos, bloques de cimentación y zapatos formados en plataformas vibratorias, por prensado de rodillos, etc.
	Columnas, pilotes, vigas, losas, tramos de escaleras, cerchas, tuberías, paneles de pared exterior de dos capas moldeados en plataformas vibratorias.
	Estructuras de paredes delgadas, fuertemente saturadas de refuerzo, moldeadas en plataformas vibratorias o en instalaciones de cassette.

La demanda de agua de la mezcla de concreto está determinada por la fórmula

donde EN- demanda de agua de la mezcla de hormigón, l; Sol- demanda de agua de una mezcla de hormigón hecha con cemento Portland, arena de tamaño mediano y piedra triturada con el tamaño de partícula mayor de 40 mm sin el uso de aditivos plastificantes, t; VZ- corrección por el tipo y finura del relleno, l; Para - coeficiente teniendo en cuenta el tipo de aditivo plastificante (cuando se utilizan plastificantes Para= 0,9; en el caso de los superplastificantes Para= 0,8).

Necesidad de agua Sol determinado por la fórmula:

1) para compuesto plástico

donde Y - el indicador de la trabajabilidad de la mezcla (en este caso, el calado del cono, cm);

2) para mezcla dura

donde Y- la rigidez de la mezcla, s (cuando se determina en un dispositivo estándar).

Enmienda VZ determinado en base a las siguientes condiciones:

1) si en lugar de piedra triturada con NK= Se utiliza piedra triturada de 40 mm con NK= 20 mm,

entonces EN 3= 15 l, en NK= 10mm - VZ= 30 l, y en NK= 80mm - BW= -15 litros;

2) cuando se usa grava en lugar de piedra triturada con la misma finura más grande B3 =-15l;

3) si toman arena fina, entonces VZ = 10-20 litros;

4) con un consumo de cemento superior a 450 kg/m3 VZ= 10-15 litros;

5) cuando se usa cemento puzolánico VZ= 15-20 litros.

Figura 2 - Cálculo del requerimiento de agua de la mezcla de concreto

4 . Determinación del consumo de cemento y áridos

El consumo de cemento por I m3 de hormigón está determinado por la fórmula:

Si el consumo de cemento por I m3 de concreto es menor que el permitido por SNiP (ver tabla 3), entonces debe aumentarse al valor requerido Cmin.

Tabla 3 - Consumo mínimo de cemento Cmin para obtener una mezcla de hormigón densa no separable

tipo de mezcla	El tamaño de agregado más grande, mm
Extra duro (W > 20 s)
Rígido (L = 10…20 s)
Sedentario (W = 5 ... 10 s)
Móvil (OK = 1…I0 cm)
Muy móvil (OK = 10…16 cm)
Reparto (OK > 16 cm)

El consumo de áridos por 1 m3 de hormigón se determina mediante las siguientes fórmulas:

donde SCH- consumo de piedra triturada, kg/m3; PAG- consumo de arena, kg/m3; EN- demanda de agua de la mezcla de concreto, l/m3; - coeficiente de separación de granos de piedra triturada con una solución; vn - hueco de piedra triturada; , - densidades reales de cemento, arena y piedra triturada (en cálculos, puede tomar 3.1; 2.8 y 2.65 kg / l, respectivamente); - densidad aparente de piedra triturada (se puede tomar 1,4 kg / l).

En ausencia de datos sobre el vacío del agregado grueso, el indicador vn se puede tomar dentro de 0,42 ... 0,45.

Relación de dispersión , para mezclas de concreto rígido, debe usarse dentro de 1.05 ... 1.15, y para mezclas plásticas: 1.25 ... 1.40 (los valores más grandes deben tomarse con altas tasas de movilidad de la mezcla OK).

Figura 3 - Determinación del consumo de cemento y áridos

5 . corr.diseño de requerimiento de agua de mezcla

La proporción encontrada de los componentes de la mezcla de concreto está sujeta a verificación obligatoria y, si es necesario, ajuste. La comprobación y el ajuste de la composición del hormigón se llevan a cabo mediante un método experimental de cálculo mediante la preparación y el ensayo de lotes de prueba y muestras de control.

En la primera etapa, se verifica la conformidad de la trabajabilidad de la mezcla de concreto del lote de prueba con el valor especificado. Si el índice real de trabajabilidad de la mezcla, debido a las características de las propiedades del cemento utilizado y del agregado local, difiere del especificado Y , luego ajuste el flujo de agua EN según las fórmulas:

Para mezcla plástica;

Para mezcla dura.

A continuación, según las fórmulas (6), (7), (8), se vuelve a calcular la composición y se prepara una nueva tanda para comprobar la trabajabilidad de la mezcla. Si corresponde al especificado, se forman muestras de control y se determina la densidad real de la mezcla de hormigón, así como la resistencia a la compresión después del período de endurecimiento especificado. En caso contrario, se repite el ajuste de la demanda de agua de la mezcla.

Figura 4 - Ajuste de la demanda de agua de la mezcla de hormigón

Figura 5 - Ajuste del consumo de cemento y áridos

6 . Corrección de la composición del hormigón según la densidad real del hormigónnorteNoémezclas

El valor obtenido de la densidad de la mezcla de hormigón debe coincidir con el calculado (desviación admisible ± 2%). Si, debido al aumento del contenido de aire, la desviación es superior al 2 %, es decir, Si

donde , (V, W, C y PAG - consumo de diseño de componentes por 1 m3 de hormigón), entonces el contenido de aire real de la mezcla de hormigón compactado se determina mediante la fórmula

donde es la densidad real de la mezcla, determinada por medición directa.

Luego, el volumen absoluto real de agregados se calcula usando la fórmula

así como el consumo real de agregados, según las fórmulas:

donde r- la proporción de agregados finos y gruesos por peso en la composición de diseño del hormigón.

Figura 6 - Corrección de la composición del hormigón según la densidad real de la mezcla

7 . Ajuste de la relación agua-cemento

Después de un período de endurecimiento predeterminado, se prueba la compresión de muestras de control de concreto.

Si la resistencia a la compresión real del hormigón difiere de la especificada en más de ± 15 %, en cualquier dirección, se deben realizar ajustes en la composición del hormigón para aumentar la resistencia, aumentar el consumo de cemento, es decir, C/EN, para reducir la fuerza - la reduce.

Valor corregido C/EN puede calcularse mediante las fórmulas:

a) si entonces

b) si, entonces

donde es la resistencia real del concreto.

Después de encontrar el valor requerido, de acuerdo con las fórmulas (6), (7) y (8), se vuelve a calcular la composición del concreto, se prepara un lote de control, según el cual se verifican nuevamente todos los parámetros del concreto.

Figura 7 - Corrección de la relación agua-cemento

Figura 8 - Ajuste del consumo de cemento y áridos según la relación agua-cemento ajustada

8 . Determinación de la composición de producción de hormigón y la cantidad de m.unmaterialesy lote de hormigonera

En la producción, los agregados húmedos se utilizan a menudo en la preparación del hormigón. La cantidad de humedad contenida en los agregados debe tenerse en cuenta al determinar la composición de producción del concreto, que se calcula mediante las fórmulas:

donde y - contenido de humedad de arena y grava,% .

El consumo de cemento con este ajuste de la composición se mantiene sin cambios.

Al cargar cemento y agregados en una mezcladora de concreto, su volumen inicial es mayor que el volumen de la mezcla de concreto resultante, ya que durante la mezcla, la masa se compacta, por así decirlo: los granos de cemento se ubican en los vacíos entre los granos de arena, los granos de arena. - entre granos de piedra triturada. Para estimar el volumen de carga de una hormigonera, se utiliza el denominado coeficiente de fluencia del hormigón.

donde, es la densidad aparente del cemento, la arena y la piedra triturada, respectivamente, y la densidad aparente de los agregados se toma en estado natural (húmedo).

Aproximadamente, en este trabajo, es posible aceptar respectivamente 1100 kg/m3, 1450 kg/m3 y 1380 kg/m3.

Al calcular la cantidad de materiales para un lote de una hormigonera, se supone que la suma de los volúmenes de cemento, arena y piedra triturada (en estado suelto) corresponde a la capacidad del tambor de la hormigonera. Entonces el volumen de concreto de un lote será igual a

,

donde - capacidad de la hormigonera.

El consumo de materiales para un lote está determinado por las fórmulas:

; ;

; .

Figura 9 - Cálculo de la composición de producción de hormigón y la cantidad de materiales para mezclar una hormigonera

9. Construcción de modelos matemáticos de las dependencias de las propiedades de la mezcla de hormigón y hormigón, sobre su composición en base a los resultados del experimento planificado.

Se recomienda realizar la planificación de experimentos y la construcción de modelos matemáticos de la dependencia de las propiedades de la mezcla de hormigón y el hormigón de su composición para ajustar la composición del hormigón en el proceso de su preparación, al organizar la producción de productos. utilizando una nueva tecnología, así como en el caso de utilizar sistemas automáticos control de procesos.

La construcción de modelos matemáticos de dependencias experimentales de las propiedades del concreto sobre su composición incluye los siguientes pasos:

1) refinamiento en función de la tarea específica de los parámetros optimizados (resistencia del hormigón, trabajabilidad de la mezcla de hormigón, etc.);

2) la elección de factores que determinan la variabilidad de los parámetros optimizados;

3) determinación de la composición inicial principal de la mezcla de hormigón;

4) elección de intervalos para variación de factores;

5) elección de intervalos para variación de factores;

6) elección del plan y condiciones para realizar experimentos;

7) cálculo de todas las composiciones de la mezcla de hormigón de acuerdo con el plan elegido y la implementación del experimento;

8) procesar los resultados del experimento con la construcción de modelos matemáticos de las dependencias de las propiedades de la mezcla de concreto y el concreto en los factores seleccionados.

Como factores que determinan la composición de la mezcla de hormigón, dependiendo de la tarea específica, EN/C (C/EN) mezclas, consumo de agua (o cemento), consumo de áridos o la relación entre ellos r, gastos de aditivos, etc.

La composición inicial principal se determina de acuerdo con las instrucciones de los párrafos. 1 - 7. Los valores de los factores en la composición inicial principal se denominan básicos (niveles promedio o cero). Los niveles de variación de los factores en un experimento dependen del tipo de su planificación. Para simplificar los registros y cálculos posteriores. Los niveles de los factores se utilizan en forma codificada, donde "+1" indica el nivel alto, "0" el nivel medio y "-1" el nivel bajo. Los niveles intermedios de factores en forma codificada se calculan mediante la fórmula

donde Xi - significado i-ésimo factor en forma codificada; Xi- significado i-ésimo factor en en especie; X 0i- nivel básico i-ésimo factor; Xyo- intervalo de variación i-ésimo factor.

Para construir modelos matemáticos de la dependencia de las propiedades de la mezcla de hormigón y el hormigón de su composición, se recomienda utilizar un experimento planificado de tres factores del tipo EN-D13, lo que permite obtener modelos cuadráticos no lineales y tiene buenas características estadísticas.

El diseño de este experimento se muestra en la Tabla 4.

Tabla 4 - Experimento tipo planificado EN-D13

	Matriz de planificación	Valores naturales de las variables	Propiedades del hormigón (rendimiento)
				EN/C

Además, para determinar la reproducibilidad de las mediciones de los parámetros de salida, es necesario duplicar los experimentos (realizar lotes experimentales) al menos tres veces en el punto cero (todos los factores en el nivel principal), distribuyéndolos uniformemente entre el resto de los lotes

De acuerdo con el plan elegido del experimento, se calculan los valores naturales de los factores variables y la composición de la mezcla de concreto en cada experimento.

Los valores naturales de las variables se calculan mediante la fórmula

y registrado en la tabla 4.

La composición de la mezcla de hormigón en cada experimento se calcula mediante las fórmulas:

donde es el volumen absoluto de agregados en 1 m3 de concreto, l.

Con base en los resultados de un experimento planificado de tipo B-D13, modelos matemáticos de dependencias de la forma

Y=20,67+0,1x1-0,29x2+0,57x3+0,25x12-1,13x22+1,85x32+0,12 x1 x2-0,52x1x3+0,08x2 x3 - ecuación de regresión

Los coeficientes del modelo se calculan utilizando L- matrices según la fórmula

donde esta el elemento correspondiente L- matrices.

L- matriz para el tipo de experimento planificado EN-D 13 se muestra en la Tabla 5.

Tabla 5 - L- matriz para el plan EN-D 13

Después de obtener los modelos matemáticos, se comprueba la significancia (diferencia de cero) de los coeficientes del modelo y su adecuación. .

Se verifica la significación de los coeficientes usando el método de Student ( t -criterio), que se calcula mediante la fórmula

donde está el error cuadrático medio en la determinación de los coeficientes,

donde - dispersión de reproducibilidad en experimentos paralelos; Coni- valores dados para el plan EN-D 13 en la tabla 6.

Tabla 6 - Valores Coni para el plan EN-D 13

Valor estimado t - los criterios se comparan con la tabla t pestaña. para el nivel de significación elegido (generalmente) y el número dado de grados de libertad (número de experimentos en el punto cero).

si un t < t En la tabla, entonces este coeficiente se considera insignificante, sin embargo, es imposible descartar el término correspondiente de la ecuación, ya que en la ecuación (34) todos los coeficientes están correlacionados entre sí y el rechazo de cualquier término requiere un recálculo del modelo. Para verificar la adecuación del modelo, la varianza de adecuación se calcula mediante la fórmula

donde es el valor de la propiedad estudiada del concreto en tu- esa experiencia; - el valor de la propiedad estudiada del hormigón en tu-ésimo experimento calculado por la ecuación (34); metro- número de coeficientes significativos, incluyendo b 0 .

Determine el valor calculado del criterio de Fisher ( F - criterio) según la fórmula

que se compara con la tabla F pestaña. para el número de grados de libertad: y y el nivel de significancia elegido (usualmente.)

La ecuación se considera adecuada si F<F tabla En caso de un resultado positivo de verificar la adecuación del modelo, se puede usar para resolver varios problemas.

Figura 10 - Construcción de un modelo matemático de las dependencias de las propiedades de la mezcla de concreto y el concreto, sobre su composición

Control de adecuación:

F=0.60921 - valor calculado de cr. Pescador

f1=n-m - primer número de grados de libertad

f2=n0-1 - segundo número de grados de libertad

n0 - número de experimentos en el punto cero

n=10 - número de experimentos

n=8 - número de coeficientes significativos

Dado que el valor de cr. Fisher (F=0.60921) es menor que el valor de la tabla cr. Fisher (Ftabl=199.5), entonces la ecuación se considera adecuada.

Figura 11 - Construcción de un modelo matemático de las dependencias de las propiedades de la mezcla de concreto y el concreto, sobre su composición (2)

Figura 12 - Construcción de un modelo matemático de las dependencias de las propiedades de la mezcla de concreto y el concreto, sobre su composición (3)

Figura 13 - Construcción de un modelo matemático de las dependencias de las propiedades de la mezcla de concreto y del concreto, sobre su composición (4)

Figura 14 - Construcción de un modelo matemático de las dependencias de las propiedades de la mezcla de concreto y el concreto, sobre su composición (5)

10. Gráficos de dependencia de la fuerza en W / C, C y R

1) Gráfico N° 1: Dependencia de X1 (consumo de cemento) de X2 (A/C) en X3 = 0 (relación entre agregado fino y grueso R).

Cuando X3 = 0, la ecuación se ve así:

La mayor resistencia del hormigón con una relación constante entre el agregado fino y grueso X3 = 0 es de 22,56 MPa.

				Resistencia Rb, MPa

2) Gráfico N° 2: Dependencia de X1 (consumo de cemento) de X3 (relación entre agregado fino y grueso R) en X2 = 0 (A/C).

La mayor resistencia del hormigón a un consumo constante de cemento X2 = 0 es de 23,32 MPa.

Figura 18- Gráfico de la dependencia de la fuerza de W/C y R

3) Gráfico No. 3: Dependencia de X3 (relación entre agregado fino y grueso R) de X2 (A/C) en X1 = 0 (consumo de cemento).

Cuando X2 = 0, la ecuación se ve así:

La resistencia máxima del hormigón con una constante W/C X1 = 0 es de 22,25 MPa.

				Resistencia Rb, MPa

Figura 20 - Gráfico de la dependencia de la fuerza en C y R

Listaliteratura usada

1. V. A. Voznesensky, T. V. Lyashenko y B. L. Ogarkov, Russ. Métodos numéricos para resolver problemas de construcción y tecnológicos en una computadora. - Kiev: Escuela secundaria, 1989. -328 p.

2. Bazhenov Yu.M. tecnología concreta. - M.: Escuela superior, 1987. - 415 p.

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