Главная / Управление / Оценка эффективности работы смо. Сравнительный анализ эффективности простейших систем массового обслуживания Основные критерии эффективности функционирования СМО

Оценка эффективности работы смо. Сравнительный анализ эффективности простейших систем массового обслуживания Основные критерии эффективности функционирования СМО

Показатели эффективности СМО

абсолютная и относительная пропускная способность системы;
коэффициенты загрузки и простоя;
среднее время полной загрузки системы;
среднее время пребывания заявки в системе.

Показатели, характеризующие систему с точки зрения потребителей :

P обс – вероятность обслуживания заявки,
t сист – время пребывания заявки в системе.

Показатели, характеризующие систему с точки зрения её эксплуатационных свойств :

λ b – абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени),
P обс – относительная пропускная способность системы,
k з – коэффициент загрузки системы.

см. также Параметры экономической эффективности СМО

Задача . В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. По условию n=3, λ=0,25(1/ч), t об. =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/t об. =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (25) p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
по формуле (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 =(0,75 3 /3!)∙0,476=0,033 т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P отк. =p 3 =0,033.
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q = 1-0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A= 0,25∙0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ k =0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 =24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

Задача . В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение. Имеем ρ = λ/μ = μt об. =0,4∙2=0,8. Так как ρ = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, по (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, P зан. = 1-0,2 = 0,8. По формуле (34) вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны p 1 = 0,8(1-0,8) = 0,16; p 2 = 0,8 2 ∙(1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙(1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
P=p 1 +p 2 +p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
По формуле (40) среднее число судов, ожидающих разгрузки
L jч =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
а среднее время ожидания разгрузки по формуле (15.42)
T оч =3,2/0,8 = 4 сутки.
По формуле (36) среднее число судов, находящихся у причала, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (сутки) (или проще по (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (сутки), а среднее время пребывания судна у причала по формуле (41) T сист = 4/0,8 = 5 (сутки).
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна t об либо увеличение числа причалов n .

Задача . В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя t об = 2 мин. Определить:
а. Минимальное количество контролеров-кассиров п min , при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=n min .
б. Оптимальное количество n опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С отн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n min и n=n опт.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Решение.
а. По условию l = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.). По формуле (24) r = l/ m = lt об = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n min = 3.
Найдем характеристики обслуживания СМО при п = 3.
Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3-2,7)) -1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5% времени контролеры-кассиры будут простаивать.
Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, по (48) P оч. = (2,7 4 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Среднее число покупателей, находящихся в очереди, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Среднее время ожидания в очереди по (42) T оч. = 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среднее число покупателей в узле расчета по (51) L сист. = 7,35+2,7 = 10,05.
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета по (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Таблица 1

Характеристика обслуживания	Число контролеров-кассиров
Характеристика обслуживания	3	4	5	6	7
Вероятность простоя контролеров-кассиров p 0	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Среднее число покупателей в очереди T оч.	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Относительная величина затрат С отн.	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, по (49) k = 2,7.
Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т.е. 81 покупатель в час.
Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.
б. Относительная величина затрат при n = 3
C отн. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п (табл. 1).
Как видно из табл. 2, минимальные затраты получены при n = n опт. = 5 контролерах-кассирах.
Определим характеристики обслуживания узла расчета при n = n опт. =5. Получим P оч. = 0,091; L оч. = 0,198; Т оч. = 0,146 (мин); L сист. = 2,90; T снст. = 2,15 (мин); k = 2,7; k 3 = 0,54.
Как видим, при n = 5 по сравнению с n = 3 существенно уменьшились вероятность возникновения очереди P оч. , длина очереди L оч. и среднее время пребывания в очереди T оч. и соответственно среднее число покупателей L сист. и среднее время нахождения в узле расчета T сист., а также доля занятых обслуживанием контролеров k 3. Но среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров k и абсолютная пропускная способность узла расчета А естественно не изменились.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей, определится как
= 1- P оч. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , где каждое слагаемое найдем по формулам (45) – (48). Получим при n=5:

Заметим, что в случае n=3 контролеров-кассиров та же вероятность существенно меньше: P(r ≤ 3) =0,464.

Система массового обслуживания состоит из следующих элементов (рисунок 5.6).

1 - входящий поток требований ω(t ) – совокупность требований к СМО на проведение определенных работ (заправка, мойка, ТО и др.) или оказание услуг (покупка изделий, деталей, материалов и др.). Входящий поток требований может быть постоянным и переменным.

Требования бывают однородные (одинаковые виды работ или услуг) и неоднородные (разные виды работ или услуг).

2 - очередь – требования, ожидающие обслуживания. Очередь оценивается средней длиной r – числом объектов или клиентов, ожидающих обслуживания.

Рисунок 5.6 – Общая схема системы массового обслуживания

3 - обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) – совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.

4 - выходящий поток требований ω’(t ) – поток требований, прошедших СМО. В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований: отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.

5- замыкание (возможное) СМО – состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.

На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО, ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.

Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.

1 По ограничениям на длину очереди:

СМО с потерями – требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты;

СМО без потерь – требование занимает очередь, даже если все каналы
заняты;

СМО с ограничениями по длине очереди m или времени ожидания: если существует ограничение на очередь, то вновь поступившее (m +1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость накопительной площадки перед АЗС).

2 По количеству каналов обслуживания п:

Одноканальные: n =1;

Многоканальные n ≥2.

3 По типу обслуживающих каналов:

Однотипные (универсальные);

Разнотипные (специализированные).

4 По порядку обслуживания:

Однофазовые – обслуживание производится на одном аппарате (посту);

Многофазовые – требования последовательно проходит несколько аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка автомобиля; линия внешнего ухода: уборка → мойка → обсушка → полировка).

5 По приоритетности обслуживания:

Без приоритета – требования обслуживаются в порядке их поступления на СМО;

С приоритетом – требования обслуживаются в зависимости от присвоенного им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей, приносящих наибольшую прибыль на перевозках).

6 По величине входящего потока требований:

С неограниченным входящим потоком;

С ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной записи на определенные виды работ и услуг).

7 По структуре СМО:

Замкнутые – входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП, обслуживающее только свои автомобили (5 на рисунке 5.6));

Открытые – входящий поток требований не зависит от числа ранее обслуженных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.

8 По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:

С взаимопомощью – пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование «скользящих» рабочих;

Без взаимопомощи – пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.

Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распространение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с одно- или многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.

В качестве показателей эффективности работы СМО используют приведенные ниже параметры.

Интенссивность обслуживания

где ω - параметр потока требований.

показывает количество требований, поступающих в единицу времени, т.е.

A =ωg ,

(5.13)

где g - .

Относителъная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.

Вероятность того, что все посты свободны Р 0 , характеризует такое состояние системы, при котором все объекты исправны и не требуют проведения технических воздействий, т.е. требования отсутствуют.

Вероятность отказа в обслуживании Р отк имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней. Она показывает долю «потерянных» для системы требований.

Р оч определяет такое состояние системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее требование «встает» в очередь с числом ожидающих требований r.

Зависимости для определения названных параметров функционирования СМО определяются ее структурой.

где n зан - .

Время связи требования с системой:

СМО с потерями

t сист =gt д;

(5.16)

СМО без потерь

t сист =t д +t ож.

(5.17)

И =С 1 r +С 2 n сн +(С 1 +C 2)ρ,

(5.18)

где С 1 - стоимость простоя автомобиля в очереди;

r - средняя длина очереди;

С 2 -стоимость простоя обслуживающего канала;

n сн - количество простаивающих (свободных) каналов;

t ож - среднее время нахождения в очереди.

Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам, чтобы И= min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и имитационного моделирования.

Пример. Станция технического обслуживания имеет один пост диагностирования (п= 1). Длина очереди ограничена двумя автомобилями (т= 2). Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если интенсивность потока требований на диагностирование в среднем А =2 треб./ч, продолжительность диагностирования t д = 0,4 ч.

Интенсивность диагностирования μ=1/0,4=2,5.

Приведенная плотность потока ρ=2/2,5=0,8.

Вероятность того, что пост свободен,

P 0 =(1-ρ)/(1-ρ m +2)=(1-0,8)/(1-0,8 4)=0,339.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,339=0,217.

Вероятность отказа в обслуживании

P отк =ρ m +1 (1-ρ)/(1-ρ m +2)=0,8 3 (1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Относительная пропускная способность

g =1-P отк =1-0,173=0,827.

Абсолютная пропускная способность

А =2 0,827=1,654 треб./ч.

Среднее количество занятых постов или вероятность загрузки поста

n зан =(ρ-ρ m +2)/(1-ρ m +2)=(0,8-0,8 4)/(1-0,8 4)=0,661=1-P 0 .

Среднее количество требовниий, находящихся вочереди,

Среднее время нахождения требования в очереди

t ож =r /ω=0,564/2=0,282 ч.

Пример. На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования (п= 1). В данном случае длина очереди практически неограниченна. Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С 1 = 20 ре (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С 2 = 15 ре Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.

Вероятность того, что пост свободен

P 0 =1-ρ=1-0,8=0,2.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,2=0,128.

Относительная пропускная способность g =1, так как все намеченные автомобили пройдут через диагностический пост.

Абсолютная пропускная способность А =ω=2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n зан =ρ=0,8.

r =ρ 2 /(1-ρ)=0,8 2 /(1-0,8)=3,2.

Среднее время ожидания в очереди

t ож =ρ 2 /(1-ρ)/μ=0,8 2 /(1-0,8)/2,5=1,6.

Издержки от функционирования системы

И =С 1 r +С 2 n сн +(С 1 +C 2)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 ре/смену.

Пример. На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (n =2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения (площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С’ 1 =22 ре. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для предыдущего примера.

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же: μ=2,5, ρ=0,8.

Вероятность того, что оба поста свободны,

Р 0 =1:
=0,294.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ n Р 0 /n !=0,8 2 0,294/2=0,094,

т.е. на 37 % ниже, чем в предыдущем примере.

Относительная пропускная способность g =1, так как все автомобили пройдут через диагностические посты.

Абсолютная пропускная способность А =2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n зан =ρ=0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

r =ρP оч /(n -ρ)=0,8 2 0,094/(2-0,8)=0,063.

Среднее время нахождения в очереди

t ож =P оч /(n -ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Издержки от функционирования системы

И =С 1 r +С 2 n сн +(С 1 +C 2)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ре/смену,

т.е. в 1,55 раза ниже, чем при тех же условиях для одного диагностического поста, главным образом за счет сокращения очереди автомобилей на диагностику и времени ожидания автомобилей более чем в 50 раз. Следовательно, строительство второго диагностического поста в рассматриваемых условиях целесообразно. Используя формулу (5.18) из условия И 1 =И 2 , можно оценить предельные значения цены простоя средств обслуживания при строительстве и оснащении второго диагностического поста, которая в рассмотренном примере составляет C 2 пр =39 ре.

1. Показатели эффективности использования СМО:

Абсолютная пропускная способность СМО – среднее число заявок, которое смо-

жет обслужить СМО в единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО – отношение среднего числа заявок,

обслуживаемых СМО в единицу времени, к среднему числу поступивших за это же

время заявок.

Средняя продолжительность периода занятости СМО.

Коэффициент использования СМО – средняя доля времени, в течение которого

СМО занята обслуживанием заявок, и т.п.

2. Показатели качества обслуживания заявок:

Среднее время ожидания заявки в очереди.

Среднее время пребывания заявки в СМО.

Вероятность отказа заявке в обслуживании без ожидания.

Вероятность того, что вновь поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию.

Закон распределения времени ожидания заявки в очереди.

Закон распределения времени пребывания заявки в СМО.

Среднее число заявок, находящихся в очереди.

Среднее число заявок, находящихся в СМО, и т.п.

3. Показатели эффективности функционирования пары «СМО – клиент», где под «клиентом» понимают всю совокупность заявок или некий их источник. К числу таких показателей относится, например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени

Классификация систем массового обслуживания

По числу каналов СМО:

одноканальные (когда имеется один канал обслуживания)

многоканальные , точнее n -канальные (когда количество каналов n ≥ 2).

По дисциплине обслуживания:

1. СМО с отказами , в которых заявка, поступившая на вход СМО в момент, когда все

каналы заняты, получает «отказ» и покидает СМО («пропадает»). Чтобы эта заявка все же

была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС: если набранный телефонный номер (заявка, поступившая на вход) занят, то заявка получает отказ, и, чтобы дозвониться по этому номеру, следует его набрать еще раз.

2. СМО с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью ). В таких системах

заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, становится в очередь и ожидает освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания, на предприятиях (например, обслуживание станков бригадой наладчиков).

3. СМО смешанного типа (с ограниченным ожиданием ). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения.

Эти ограничения могут накладываться на длину очереди , т.е. максимально возможное

число заявок, которые одновременно могут находиться в очереди. В качестве примера такой системы можно привести мастерскую по ремонту автомобилей, имеющую ограниченную по размерам стоянку для неисправных машин, ожидающих ремонта.

Ограничения ожидания могут касаться времени пребывания заявки в очереди , по исте-

чению которого она выходит из очереди и покидает систему).

В СМО с ожиданием и в СМО смешанного типа применяются различные схемы об-

служивания заявок из очереди. Обслуживание может быть упорядоченным , когда заявки из очереди обслуживаются в порядке их поступления в систему, и неупорядоченным , при котором заявки из очереди обслуживаются в случайном порядке. Иногда применяется обслуживание с приоритетом , когда некоторые заявки из очереди считаются приоритетными и поэтому обслуживаются в первую очередь.

По ограничению потока заявок:

замкнутые и открытые .

Если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращать-

ся, то СМО является замкнутой , в противном случае – открытой .

По количеству этапов обслуживания:

однофазные и многофазные

Если каналы СМО однородны, т.е. выполняют одну и ту же операцию обслужива-

ния, то такие СМО называются однофазными . Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания (т.е. обслуживание состоит из нескольких последовательных этапов или фаз), то СМО называется многофазной . Примером работы многофазной СМО является обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностирование и т.д.).

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовой проект

Сравнительный анализ эффективности простейши х систем массового обслуживания

Введение

массовый обслуживание производительность

В производственной деятельности и повседневной жизни часто возникают ситуации, когда появляется крайне важность в обслуживании требований или заявок поступающих в систему. Часто встречаются ситуации, в которых крайне важно пребывать в ситуации ожидания. Примерами тому может служить очередь покупателей у касс большого магазина, группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на взлет в аэропорте, ряд вышедших из строя станков и механизмов, поставленных в очередь для починки в ремонтном цехе предприятия и т.д. Иногда системы обслуживания обладают ограниченными возможностями для удовлетворения спроса, и это приводит к образованию очередей. Как правило, ни время возникновения потребностей в обслуживании, ни продолжительность обслуживания заранее не известны. Избежать ситуации ожидания чаще всего не удается, но можно сократить время ожидания до какого-то терпимого предела.

Предметом теории массового обслуживания являются системы массового обслуживания (СМО). Задачами теории массового обслуживания являются анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из базовых задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, к примеру, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди. Цель изучения режима функционирования обслуживающей системы в условиях, когда фактор случайности является существенным, контролировать некоторые количественные показатели функционирования системы массового обслуживания. Такими показателями, в частности являются среднее время пребывания клиента в очереди или доля времени, в течение которой обслуживающая система простаивает. При этом в первом случае мы оцениваем систему с позиции «клиента», тогда как во втором случае мы оцениваем степень загруженности обслуживающей системы. Путем варьирования операционными характеристиками обслуживающей системы может быть достигнут разумный компромисс между требованиями «клиентов» и мощностью обслуживающей системы.

1. Теоретическая часть

1.1 Классификация СМО

Системы массового обслуживания (СМО) классифицируются по разным признакам, что подробно изображено на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. Классификация СМО

По числу каналов обслуживания (n) СМО разделяются на одноканальные (n = 1) и многоканальные (n > 2). К одноканальным СМО в торговле можно отнести практически любой вариант локального обслуживания, например выполняемый одним продавцом, товароведом, экономистом, торговым аппаратом.

В зависимости от взаимного расположения каналов системы подразделяются на СМО с параллельными и с последовательными каналами. В СМО с параллельными каналами входной поток заявок на обслуживание является общим, и поэтому заявки в очереди могут обслуживаться любым свободным каналом. В таких СМО очередь на обслуживание можно рассматривать как общую.

В многоканальной СМО с последовательным расположением каналов каждый канал может рассматриваться как отдельная одноканальная СМО, или фаза обслуживания. Очевидно, выходной поток обслуженных заявок одной СМО является входным потоком для последующей СМО.

В зависимости от характеристик каналов обслуживания многоканальные СМО подразделяются на СМО с однородными и неоднородными каналами. Отличие состоит в том, что в СМО с однородными каналами заявка может обслуживаться любым свободным каналом, а в СМО с неоднородными каналами отдельные заявки обслуживаются только специально для этой цели предназначенными каналами, например кассы для оплаты одного-двух предметов в универсаме.

В зависимости от возможности образования очереди СМО подразделяются на два основных типа: СМО с отказами обслуживания и СМО с ожиданием (очередью) обслуживания.

В СМО с отказами возможен отказ в обслуживании, если все каналы уже заняты обслуживанием, а образовывать очередь и ожидать обслуживания нельзя. Примером такой СМО является стол заказов в магазине, в котором прием заказов осуществляется по телефону.

В СМО с ожиданием, если заявка находит все каналы обслуживания занятым, то она ожидает, пока не освободится хотя бы один из каналов.

СМО с ожиданием подразделяются на СМО с неограниченным ожиданием или с неограниченной очередью lоч и временем ожидания Точ и СМО с ограниченным ожиданием, в которых накладываются ограничения или на максимально возможную длину очереди (max lоч = m), или на максимально возможное время пребывания заявки в очереди (max Точ = Тогр), или на время работы системы.

В зависимости от организации потока заявок СМО подразделяются на разомкнутые и замкнутые.

В разомкнутых СМО выходной поток обслуженных заявок не связан с входным потоком заявок на обслуживание. В замкнутых СМО обслуженные заявки после некоторой временной задержки Тз снова поступают на вход СМО и источник заявок входит в состав СМО. В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных заявок, например, посуда в столовой - через торговый зал, мойку и раздачу. Пока потенциальная заявка циркулирует и не преобразовалась на входе СМО в заявку на обслуживание, считается, что она находится в линии задержки.

Типовые варианты СМО определяются также и установленной дисциплиной очереди, которая зависит от преимущества в обслуживании, т.е. приоритета. Приоритет отбора заявок на обслуживание может быть следующий: первый пришел - первый обслужен; последний пришел - первый обслужен; случайный отбор. Для СМО с ожиданием и обслуживанием по приоритету возможны следующие виды: абсолютный приоритет, например для сотрудников контрольно-ревизионного управления, министра; относительный приоритет, например для директора торга на подведомственных ему предприятиях; специальные правила приоритета, когда обслуживание заявок оговорено в соответствующих документах. Существуют и другие типы СМО: с поступлением групповых заявок, с каналами разной производительности, со смешанным потоком заявок.

Совокупности СМО разных типов, объединенные последовательно и параллельно, образуют более сложные структуры СМО: секции, отделы магазина, универсама, торговой организации и т.п. Такое моделирование позволяет выявить существенные связи в торговле, применить методы и модели теории массового обслуживания для их описания, оценить эффективность обслуживания и разработать рекомендации по его совершенствованию.

1.2 Примеры СМО

Примерами СМО могут служить:

телефонные станции;

ремонтные мастерские;

билетные кассы;

справочные бюро;

магазины;

парикмахерские.

Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться:

информационно-вычислительные сети;

операционные системы электронных вычислительных машин;

системы сбора и обработки информации;

автоматизированные производственные цехи, поточные линии;

транспортные системы;

системы противовоздушной обороны.

Близкими к задачам теории массового обслуживания являются многие задачи, возникающие при анализе надежности технических устройств.

Случайный характер, как потока заявок, так и длительности обслуживания приводит к тому, что в СМО будет происходить какой-то случайный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания.

Заметим, что область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с обслуживающими организациями в буквальном смысле слова.

Число моделей систем (сетей) обслуживания, используемых на практике и изучающихся в теории, очень и очень велико. Даже для того, чтобы описать схематично основные их типы, требуется не один десяток страниц. Мы рассмотрим только системы с очередью. При этом будем предполагать, что эти системы являются открытыми для вызовов, т.е., заявки, поступают в систему извне (в некотором входном потоке), каждому из них требуется конечное число обслуживаний, по окончании последнего из которых заявка навсегда покидает систему; а дисциплины обслуживания таковы, что в любой момент времени каждый прибор может обслуживать не более одного вызова (другими словами, не допускается параллельного обслуживания двух и более заявок одним прибором).

Во всех случаях мы обсудим условия, которые гарантируют стабильную работу системы.

2 . Расчётная часть

2.1 Первый этап. Система с отказами

На данном этапе проведём минимизацию средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени для системы с отказами. Для этого определим число каналов обслуживания, обеспечивающее в системе с отказами наименьшее значение параметра - средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени.

В соответствии с вариантом задания определены следующие параметры системы:

интенсивность входного потока (среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени) 1/ед. времени.

среднее время обслуживания одной заявки ед. времени;

стоимость эксплуатации одного канала ед. стоим./канал;

стоимость простоя одного канала ед. стоим./канал;

стоимость эксплуатации одного места в очереди

ед. стоим./заявка в очереди;

стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы, получившей отказ в обслуживании ед. стоим.ед. врем.

Задавая значения (число каналов обслуживания) от единицы до шести, вычислим финальные вероятности и в соответствии с ними показатели эффективности системы. Результаты вычислений приведены в Таблица 2.1 и Таблица 2.2, а также показаны на графиках функций, приведённых на Рисунок 2.1.

Выполним расчеты по формулам 2.1.

Вероятность того, что занят один (в данном случае все) канал равна:

Так как канал всего один, то.

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки равен:

ед. времени.

Так как анализируемая система с отказами не имеет очереди, то среднее число заявок, находящихся в очереди равно нулю при любом числе каналов обслуживания.

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занято два (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего два, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занят один канал равна:

Вероятность того, что занято три (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего три, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занят один канал равна:

Вероятность того, что занято два канала равна:

Вероятность того, что занято три канала равна:

Вероятность того, что занято четыре (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего четыре, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Для и вычисления выполняются аналогично, поэтому подробного приводить не требуется. Результаты расчётов также внесены в Таблица 2.1 и Таблица 2.2. и показаны на Рисунок 2.1.

Таблица 2.1. Результаты расчётов для СМО с отказами

Система с отказами 1/ед. времени, ед. времени	Результирующие показатели

Таблица 2.2. Вспомогательные расчёты для СМО с отказами


ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.

Полученные расчёты позволяют сделать вывод, что наиболее оптимальным количеством каналов системы с отказами будет, так как при этом обеспечивается минимальное значение средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени, экономического показателя, характеризующего систему как с точки зрения потребителя, так и с точки зрения её эксплуатационных свойств.

Рисунок 2.1. Графики результирующих показателей СМО с отказами

Значения основных показателей эффективности оптимальной СМО с отказами:

ед. времени.

Допустимое для смешенной СМО значение времени пребывания заявки в системе вычисляется по формуле 2.2.

ед. времени.

2.2 Второй этап. Смешанная система

На данном этапе изучается, соответствующая заданию, система массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди. Основной задачей этого этапа является решение вопроса о возможности с введением очереди обеспечить уменьшение значения оптимального для рассматриваемой системы значения экономического показателя С и улучшить другие показатели эффективности изучаемой системы.

Задавая значения параметра (среднего времени пребывания заявки в системе), вычислим те же показатели эффективности, что и для системы с отказами. Результаты вычислений приведены в Таблица 2.3 и Таблица 2.4, а также показаны на графиках функций, приведённых на Рисунок 2.2.

Для вычисления вероятностей и основных показателей эффективности используем следующие формулы:

,

, . 2.3

Выполним расчеты по формулам 2.3.

Значение показателя одинаково для всех.

.

Вероятность того, что все каналы свободны, вычисляется по формулам:

,

, . 2.4

Вычислим несколько первых членов ряда, использую формулы 2.3:

.

Выполним остальные расчеты по формулам 2.2.

Вычислим финальные вероятности:

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

.

1/ед. времени.

.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Так как полученная средняя стоимость обслуживания одной заявки меньше аналогичного параметра оптимальной СМО с отказами

, следует увеличить.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с ограничением на время пребывания в очереди ед. времени.

.

Требуемая по заданию точность расчёта финальных вероятностей составляет 0,01. Для обеспечения данной точности достаточно вычислить приблизительную сумму бесконечного ряда с аналогичной точностью.

Для расчетов также используем формулы 2.2 и формулы 2.3.

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

Вычислим среднее время пребывания заявки в системе, которое должно удовлетворять условию ед. времени.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Как видно из расчётов, увеличение приводит к уменьшению средней стоимости обслуживания одной заявки. Аналогично выполним расчёты с увеличением среднего времени пребывания заявки в очереди, результаты внесём в Таблица 2.3 и Таблица 2.4, а также отобразим на Рисунок 2.2.

Таблица 2.3. Результаты расчётов для смешанной системы

Система с ограничением на время пребывания в очереди 1/ед. врем., ед. врем.	Результирующие показатели

Данные системы с отказами

Таблица 2.4. Вспомогательные расчёты для смешанной системы

К вычислению общей стоимости обслуживания заявок в единицу времени
	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.
Данные системы с отказами

Данные системы с ограничением на время пребывания в очереди

Полученные расчёты позволяют сделать вывод, что наиболее оптимальным средним временем пребывания заявки в очереди для системы с ограничением на время пребывания в очереди следует принять, так как при этом наименьшая средняя стоимость обслуживания одной заявки, а среднее время пребывания заявки в системе не превышает допустимого, то есть условие выполняется.

Рисунок 2.2. Графики результирующих показателей смешанной системы

Значения основных показателей эффективности оптимальной СМО с ограничением на время пребывания заявки в очереди:

ед. времени.

Сравнивания показатели эффективности оптимальной системы с отказами и изучаемой оптимальной смешанной системы с ограничением на время пребывания в очереди можно заметить, кроме уменьшения средней стоимости обслуживания одной заявки, повышение загруженности системы и вероятности обслуживания заявки, что позволяет оценить исследуемую системы как более эффективную. Незначительное увеличение времени пребывания заявки в системе не влияет на оценку системы, так как ожидаемо при введении очереди.

2.3 Третий этап. Влияние производительности каналов

На этом этапе исследуем влияние производительности каналов обслуживания на эффективность системы. Производительность канала обслуживания определяется значением среднего времени обслуживания одной заявки. В качестве предмета исследования примем смешанную систему, признанную оптимальной на предыдущем этапе. Показатели эффективности этой первоначальной системы сравним с аналогичными показателями двух вариантов этой системы.

Вариант А. Система с уменьшенной производительностью каналов обслуживания за счет увеличения в два раза среднего времени обслуживания и с уменьшенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования.

, .

Вариант Б. Система с увеличенной производительностью каналов обслуживания за счет уменьшения в два раза среднего времени обслуживания и с увеличенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования.

, .

Результаты вычислений приведены в Таблица 2.5 и Таблица 2.6.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с уменьшенной производительностью каналов обслуживания.

ед. времени.

.

Вычислим вероятность того, что все каналы свободны.

Вычислим несколько первых членов ряда:

.

Вычислим остальные финальные вероятности:

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

заявки.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с увеличенной производительностью каналов обслуживания.

ед. времени.

.

Вычислим вероятность того, что все каналы свободны.

Вычислим несколько первых членов ряда:

.

Вычислим остальные финальные вероятности:

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала.

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

заявки.

Вычислим среднее время пребывания заявки в системе.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Таблица 2.5. Результаты расчётов третьего этапа

Заданная смешанная система

1/ед. врем., ед. врем.

Результирующие

показатели

Первонач. вариант

Вариант А

Вариант Б

Таблица 2.6. Вспомогательные расчёты третьего этапа

К вычислению общей стоимости обслуживания заявок в единицу времени
	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.	ед. стоим.
Первонач. вариант
Вариант А
Вариант Б

Полученные результаты показывают не целесообразность увеличивать или уменьшать производительность каналов обслуживания. Так как при уменьшении производительности каналов обслуживания возрастает среднее время пребывания заявки в системе, хотя загруженность системы близка к максимальной. При увеличении производительности большая часть каналов обслуживания простаивает, но с точки зрения потребителя система эффективна, так как вероятность обслуживания близка к единице, а время пребывания заявки в системе невелико. Данный расчёт демонстрирует два варианта системы, первый из которых эффективен с точки зрения эксплуатационных свойств и не эффективен с точки зрения потребителя, а второй - наоборот.

Заключение

В ходе выполнения курсового проекта были изучены и рассмотрены система массового обслуживания с отказами и смешанная система массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди, а также исследовано влияние производительности каналов обслуживания на эффективность системы, выбранной оптимальной.

Сравнивая оптимальные СМО с отказами и смешанную систему по параметрам эффективности, наилучшей следует признать смешанную систему. Так как средняя стоимость обслуживания одной заявки в смешанной системе меньше чем аналогичный параметр в СМО с отказами на 9%.

Анализируя эффективность с точки зрения эксплуатационных свойств системы, смешанная система показывает лучшие результаты по сравнению с СМО с отказами. Коэффициент загрузки и абсолютная пропускная способность смешанной системы больше на 10%, чем аналогичные параметры у СМО с отказами. С точки зрения потребителя вывод не так очевиден. Вероятность обслуживания смешанной системы выше почти на 10%, что говорит о большей эффективности смешанной системы по сравнению с СМО с отказами. Но также наблюдается увеличение времени пребывания заявки в системе на 20%, что характеризует СМО с отказами как более эффективную по данному параметру.

В результате исследований наиболее эффективной признана оптимальная смешанная система. Данная система имеет следующие преимущества перед СМО с отказами:

меньше затраты на обслуживание одной заявки;

меньше простоя каналов обслуживания, ввиду большей загруженности;

большая доходность, так как пропускная способность системы выше;

есть возможность выдержать неравномерность интенсивности поступающих заявок (увеличение нагрузки), ввиду наличия очереди.

Исследования влияния производительности каналов обслуживания на эффективность смешанной системы массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди позволяют сделать вывод, что наилучшим вариантом будет исходная оптимальная смешанная система. Так как при уменьшении производительности каналов обслуживания система очень сильно «проседает» с точки зрения потребителя. Время пребывания заявки в системе увеличивается в 3,6 раза! А при увеличении производительности каналов обслуживания система настолько легко справляется с нагрузкой, что 75% времени будет простаивать, что является другой, экономически не эффективной, крайностью.

Учитывая вышеизложенное, оптимальная смешанная система является наилучшим выбором, так как демонстрирует баланс показателей эффективности с точки зрения потребителя и эксплуатационных свойств, имея при этом наилучшие экономические показатели.

Библиографи я

1 Дворецкий С.И. Моделирование систем: учебник для студ. высш. учеб. заведений / М.: Издательский центр «Академия». 2009.

2 Лабскер Л.Г. Теория массового обслуживания в экономической сфере: Учеб. пособие для вузов / М.: ЮНИТИ. 1998.

3 Самусевич Г.А. Теория массового обслуживания. Простейшие системы массового обслуживания. Методические указания по выполнению курсового проекта. / Е.: УрТИСИ СибГУТИ. 2015.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Истоки и история становления экономического анализа. Экономический анализ в условиях царской России, в послеоктябрьский период и в период перехода к рыночным отношениям. Теория массового обслуживания, ее применение и использование при принятии решений.

контрольная работа , добавлен 03.11.2010

Экономическая система в разных научных школах. Сравнительное исследование механизма функционирования разных экономических систем. Соотношение плана и рынка (аллокация ресурсов). Виды систем: современная, традиционная, плановая и смешанная (гибридная).

курсовая работа , добавлен 25.12.2014

Исследование особенностей повременной и сдельной заработной платы. Описание аккордной, контрактной и бестарифной систем оплаты труда. Бригадная форма организации труда. Анализ факторов, влияющих на заработную плату. Обзор причин неравенства в доходах.

курсовая работа , добавлен 28.10.2013

Методология сравнительного исследования экономических систем. Развитие взглядов на доиндустриальную экономическую систему. Рыночная экономика: концептуальная схема построения и реальная действительность. Модели смешанной экономики в развивающихся странах.

книга , добавлен 27.12.2009

Сущность массового типа организации производства и область его применения, основные показатели. Главные особенности применения массового типа организации производства на конкретном предприятии. Совершенствование управления массовым типом производства.

курсовая работа , добавлен 04.04.2014

Подходы к изучению экономики и экономического процесса. Хозяйственный механизм как часть экономической системы. Виды экономических систем. Капитализм, социализм и смешанная экономика в теории и на практике. Национальные модели экономических систем.

курсовая работа , добавлен 14.04.2013

Понятие экономических систем и подходы к их классификации. Основные модели развитых стран в рамках экономических систем. Основные черты и особенности шведской, американской, германской, японской, китайской и российской моделей переходной экономики.

курсовая работа , добавлен 11.03.2010

Сущность портфельного, бюджетного, проектного подходов к оценки проектов по внедрению информационных технологий в компании. Описание традиционных финансовых и вероятностных методик определения эффективности применения корпоративных информационных систем.

реферат , добавлен 06.12.2010

Понятие производственной функции и изокванты. Классификация малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Определение и использование коэффициентов прямых затрат. Использование метода теории игр в торговле. Системы массового обслуживания.

практическая работа , добавлен 04.03.2010

Понятие и классификация экономических систем, их разновидности и сравнительное описание. Сущность и главные условия существования рынка, закономерности и направления его развития. Понятие субъекта и объекта рыночной экономики, принципы управления.

Во всех рассмотренных выше СМО предполагалось, что все запросы, поступающие в систему - однородные, то есть, они имеют один и тот же закон распределения времени обслуживания и обслуживаются в системе согласно общей дисциплины выбора из очереди. Однако, во многих реальных системах запросы, поступающие в систему, неоднородны как по распределению времени обслуживания, так и по их ценности для системы и, следовательно, праву претендовать на первоочередное обслуживание в момент освобождения прибора. Такие модели исследуются в рамках теории приоритетных СМО. Эта теория довольно хорошо развита и ее изложению посвящено немало монографий (см., например, , , , и т.д.). Здесь мы ограничимся кратким описанием приоритетных систем и рассмотрим одну систему.

Рассмотрим однолинейную СМО с ожиданием. На вход системы поступают независимых простейших потоков, поток имеет интенсивность . Будем обозначать

Времена обслуживания запросов из потока характеризуются функцией распределения с преобразованием Лапласа - Стилтьеса и конечными начальными моментами

Запросы из потока назовем запросами приоритета к.

Считаем, что запросы из потока более приоритетны, чем запросы из потока, если Приоритетность проявляется в том, что в момент окончания обслуживания следующим на обслуживание выбирается из очереди запрос, имеющий максимальный приоритет. Запросы, имеющие один и тот же приоритет, выбираются согласно установленной дисциплине обслуживания, например, согласно дисциплине FIFO.

Рассматриваются различные варианты поведения системы в ситуации, когда во время обслуживания запроса некоторого приоритета в систему поступает запрос более высокого приоритета.

Система называется СМО с относительным приоритетом, если поступление такого запроса не прерывает обслуживание запроса. Если же такое прерывание происходит, то система называется СМО с абсолютным приоритетом. В этом случае, однако, требуется уточнить дальнейшее поведение запроса, обслуживание которого оказалось прерванным. Различают следующие варианты: прерванный запрос уходит из системы и теряется; прерванный запрос возвращается в очередь и продолжает обслуживание с места прерывания после ухода из системы всех запросов, имеющих более высокий приоритет; прерванный запрос возвращается в очередь и начинает обслуживание заново после ухода из системы всех запросов, имеющих более высокий приоритет. Прерванный запрос обслуживается прибором после ухода из системы всех запросов, имеющих более высокий приоритет, в течение времени, имеющего прежнее или некоторое другое распределение. Возможен вариант, когда требуемое время обслуживания в последующих попытках идентично времени, которое требовалось для полного обслуживания данного запроса в первой попытке.

Таким образом, имеется достаточно большое число вариантов поведения системы с приоритетом, с которыми можно ознакомиться в вышеупомянутых книгах. Общим в анализе всех систем с приоритетами является использование понятия периода занятости системы запросами приоритета к и выше. При этом основным методом исследования этих систем является метод введения дополнительного события, кратко описанный в разделе 6.

Проиллюстрируем особенности нахождения характеристик систем с приоритетами на примере системы, описанной в начале раздела. Будем считать, что это система с относительным приоритетом и найдем стационарное распределения времени ожидания запроса приоритета если бы он поступил в систему в момент времени t (так называемого виртуального времени ожидания), для системы с относительными приоритетами.

Обозначим

Условием существования этих пределов является выполнение неравенства

где величина вычисляется по формуле:

Обозначим также .

Утверждение 21. Преобразование Лапласа - Стилтьеса стационарного распределения виртуального времени ожидания запроса приоритета к определяется следующим образом:

где функции задаются формулой:

а функции находятся как решения функциональных уравнений:

Доказательство. Заметим, что функция представляет собой преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения длины периода занятости системы запросами приоритета I и выше (то есть, интервала времени с момента поступления в пустую систему запроса приоритета I и выше и до первого после этого момента, когда система окажется свободной от присутствия запросов приоритета I и выше). Доказательство того, что функция удовлетворяет уравнению (1.118), почти дословно повторяет доказательство Утверждения 13. Отметим лишь, что величина есть вероятность того, что период занятости системы запросами приоритета I и выше начинается с прихода запроса приоритета а величина трактуется как вероятность ненаступления катастрофы и запросов приоритета I и выше, за периоды занятости, порожденные которыми наступает катастрофа, за время обслуживания запроса приоритета , начавшего данный период занятости.

Сначала вместо процесса рассмотрим существенно более простой вспомогательный процесс - время, в течение которого ожидал бы начала обслуживания запрос приоритета к, если бы он поступил в систему в момент времени t и после этого в систему не поступало запросов более высокого приоритета.

Пусть - преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения случайной величины . Покажем, что функция определяется следующим образом:

(1.119)

Вероятность того, что система пуста в момент времени - вероятность того, что в интервале началось обслуживание запроса приоритета

Для доказательства (1.119) применим метод введения дополнительного события. Пусть независимо от работы системы поступает простейший поток катастроф интенсивности s. Каждый запрос назовем «плохим», если во время его обслуживания поступает катастрофа, и «хорошим» - в противном случае. Как следует из утверждений 5 и 6, поток плохих запросов приоритета к и выше является простейшим с интенсивностью

Введем событие A(s,t) - за время t в систему не поступали плохие запросы приоритета к и выше. В силу утверждения 1 вероятность этого события подсчитывается как:

Подсчитаем эту вероятность иначе. Событие A(s,t) является объединением трех несовместных событий

Событие состоит в том, что катастрофы не поступили ни за время t, ни за время При этом, естественно, за время t в систему поступали только хорошие запросы приоритета к и выше. Вероятность события очевидно, равна

Событие состоит в том, что катастрофа поступила в интервале , но в момент поступления система была пуста, а за время не поступило плохих запросов приоритета к и выше.

Вероятность события вычисляется как:

Событие состоит в том, что катастрофа поступила в интервале но в момент ее поступления в системе обслуживался запрос приоритета ниже k, который начал обслуживаться в интервале а за время t - и не поступило плохих запросов приоритета k и выше. Вероятность события определяется следующим образом:

Поскольку событие есть сумма трех несовместных событий, то его вероятность есть сумма вероятностей этих событий. Поэтому

Приравнивая два полученных выражения для вероятности и умножая обе части равенства на после несложных преобразований получаем (1.119)

Очевидно, что для того, чтобы за время ожидания запроса, поступившего в момент t не поступило катастрофы, необходимо и достаточно, чтобы за время не поступило катастроф и запросов приоритета и выше, таких, что за периоды занятости (запросами приоритета и выше), порожденные ими, наступает катастрофа. Из этих рассуждениий и вероятностной трактовки преобразования Лапласа - Стилтьеса получаем формулу, дающую связь преобразований в очевидной форме.